막대 양 끝에 공을 올렸습니다. 균형을 이루는 받침점을 찾아봅시다. 무게를 바꿔 가며 관찰해 보세요.
① 먼저 똑같은 조각으로 나눠 봅시다. 조각 길이가 자연수가 되는 등분은 몇 가지일까요?
② 이번엔 다르게 나눠 봅시다. 파란 점을 좌우로 끌어 보세요. 두 조각의 길이가 어떤 비를 이루는지 봅시다.
위 그림의 아래쪽 띠를 보세요. 점을 6 에 두면 6 : 24 지만,
그 점은 전체를 5 등분 했을 때 첫 번째 눈금입니다. 즉 1 : 4 죠.
비는 같은 수를 곱하거나 나누어도 같은 점을 가리킵니다
(6 : 24 = 3 : 12 = 2 : 8 = 1 : 4). 그래서 가장 간단한 자연수 비로 씁니다.
등분은 내분의 특별한 경우였습니다 — m : n 내분점은 전체를 (m + n) 등분한
m 번째 눈금이니까요.
수직선 위 두 점 A(a) B(b) 사이를 m : n 으로 내분하는 점 C 를 찾아봅시다. 슬라이더를 움직이며 규칙을 발견해 보세요.
학습지 Q1 — A 에서 B 까지를 같은 길이의 블록으로 채우면 몇 개가 필요할까요? 블록 개수를 바꿔 보세요.
블록 한 개의 길이는 (b − a) / (m + n) 입니다. 그렇다면 C 의 좌표를 a, b, m, n 으로 어떻게 쓸 수 있을까요?
A 와 B 를 직접 드래그하고, 슬라이더로 m : n 을 바꿔 보세요. 내분점 P 와 공식이 실시간으로 바뀝니다.
학습지 Q1 — P 를 찾으려면 무엇을 알아야 할까요? 세 점에서 두 축으로 내린 점선을 보세요. x축 위에서도, y축 위에서도 똑같이 m : n 으로 나뉩니다. 그래서 좌표를 따로따로 구할 수 있습니다.
두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 를 잇는 선분 AB 를 m : n 으로 내분하는 점 P 는 다음과 같습니다.
왜 이렇게 될까? 한 점의 좌표는 “양 끝 좌표의 가중평균”입니다. B 쪽 비중이 m, A 쪽 비중이 n 이므로, 각 좌표에 상대편 비율을 곱해 더한 뒤 (m+n) 으로 나눕니다.
앞 화면으로 돌아가 슬라이더를 움직이며, 화면에 뜬 P 값이 이 공식과 일치하는지 확인해 보세요.
세 꼭짓점이 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) 인 삼각형의 무게중심 G 는 세 좌표의 평균입니다.
무게중심은 중선을 꼭짓점에서 2 : 1 로 내분하는 점입니다.
변 BC 의 중점 M 은 ( (x₂+x₃)/2 , (y₂+y₃)/2 ) 이고,
선분 AM 을 2 : 1 로 내분하면
( 2·Mx + 1·x₁ ) / (2 + 1) = ( (x₂+x₃) + x₁ ) / 3
— 방금 배운 내분점 공식이 그대로 세 점의 평균을 만들어 냅니다.
세 꼭짓점에 서로 다른 구슬을 올리면 전체 무게중심 G 는 어디일까요? 각 점의 좌표를 무게로 가중평균 하면 됩니다.
심화 과제 — 아래 삼각형에서 전체 무게중심 G 를 구해 봅시다.
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에 풀이 과정과, 무게가 클수록 G 가 어느 쪽으로 끌리는지 서술하세요. (스스로 먼저 계산해 본 뒤, 필요하면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 받아도 좋아요.)
점이 선분 바깥(연장선 위)에 있어도 “A 로부터의 거리 : B 로부터의 거리”를 m : n 으로 맞출 수 있습니다. 이것을 외분이라 합니다.
내분 공식에서 n → −n 으로 바꾼 꼴입니다. 부호 하나 차이!
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.
컴퓨터 그래픽에서 두 색을 섞는 그라데이션, 애니메이션에서 두 자세 사이를 채우는 트위닝은 모두 내분입니다. 색 A와 색 B를 m:n으로 내분하면 중간 색이 나오죠. 게임·영상의 부드러운 움직임이 여기서 나옵니다.
내분점 공식 P = (n·A + m·B)/(m+n) 은 가중평균입니다. 점을 3개로 늘리면 삼각형 안의 모든 점을 (αA + βB + γC), α+β+γ=1 로 나타낼 수 있어요(무게중심 좌표). 이 아이디어가 3D 그래픽의 삼각형 색칠·질감 입히기의 핵심입니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.