세 변의 길이가 주어졌습니다. 중학교에서 배운 대로 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 삼각형을 그려 봅시다.
세 선분 중 두 개를 골라 보세요. 고른 두 선분이 컴퍼스의 벌린 폭(반지름) 이 되고, 남은 하나는 자로 그은 밑변이 됩니다.
길이를 바꿔 교점이 사라지는 순간도 만들어 보세요. 두 반지름의 합이 밑변보다 짧거나, 차가 밑변보다 길면 원이 만나지 않습니다 — 삼각형의 결정 조건입니다.
중학교 작도에서 쓴 도구는 눈금 없는 자와 컴퍼스뿐이었습니다. 컴퍼스는 정확히 무엇을 해 주는 도구일까요? 반지름을 바꾸고 점 P 를 드래그해 보세요.
원 = 한 평면에서 한 점(중심)으로부터 일정한 거리(반지름)에 있는 모든 점의 모임. 중심을 드래그 하고 반지름을 바꿔 보세요. 원 위의 초록 점은 항상 중심에서 거리 r 만큼 떨어져 있습니다.
원 위의 점 (x, y) 는 중심 (a, b) 와의 거리가 r → √((x−a)²+(y−b)²)=r → 양변 제곱!
| 중심 · 반지름 | 방정식 |
|---|---|
| (0, 0), r = 5 | x² + y² = 25 |
| (−3, 2), r = 4 | (x + 3)² + (y − 2)² = 16 |
| (−2, 3), r = 4 | (x + 2)² + (y − 3)² = 16 |
두 점 A, B 를 지름의 양 끝점으로 하는 원. A, B 를 드래그 하면 중심(=중점)과 반지름(=거리의 절반)이 따라옵니다.
일반형 x² + y² + Ax + By + C = 0 의 A, B, C 를 바꿔 보세요.
완전제곱으로 정리해 중심과 반지름을 찾습니다.
| 꼴 | 식 | 읽는 법 |
|---|---|---|
| 표준형 | (x−a)²+(y−b)²=r² | 중심·반지름이 바로 보임 |
| 일반형 | x²+y²+Ax+By+C=0 | 완전제곱해서 표준형으로 |
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에, 표준형이 왜 “거리 = r” 에서 나오는지, 그리고 일반형을 완전제곱으로 고치는 과정을 예를 들어 설명해 보세요.
중심 C(a, b) 를 드래그하고 반지름 r 을 바꿔, 아래 세 가지를 모두 만들어 보세요. 만들 때마다 아래 목록에 불이 켜집니다.
축에 접한다는 것은 중심에서 그 축까지의 거리 = 반지름 이라는 뜻입니다. 중심 C(a, b) 에서 x축까지의 거리는 |b|, y축까지의 거리는 |a| 이므로
| 조건 | 뜻 | 원의 방정식 |
|---|---|---|
| |b| = r | x축에 접함 | (x−a)² + (y−b)² = b² |
| |a| = r | y축에 접함 | (x−a)² + (y−b)² = a² |
| |a| = |b| = r | 두 축에 모두 접함 | (x−a)² + (y−a)² = a² |
중심이 x축 위에 있으면 b = 0, y축 위에 있으면 a = 0 입니다. 문제에서 “좌표축에 접한다”가 나오면 |a|, |b|, r 을 바로 연결하세요.
두 정점 A, B 로부터의 거리의 비 PA : PB 가 일정한 값 k (≠1) 인 점 P 들의 자취는 놀랍게도 원이 됩니다. 이것을 아폴로니오스의 원이라 합니다.
교과서 38p ‘수학 충전소’ 탐구와 연결됩니다. 관찰한 내용을 아래에 자유롭게 적어보세요.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.
GPS는 위성 3개로부터의 거리를 재어 위치를 찾습니다. 각 위성을 중심으로 한 구(원)를 그리면 교점이 내 위치죠. 지진의 진원 찾기, 와이파이 실내 측위도 같은 원리입니다(삼변측량).
원은 ‘중심에서 거리가 일정한 점의 모임’입니다. 이 정의를 3차원으로 올리면 구, n차원으로 올리면 초구가 되고 식은 (x₁−a₁)² + ⋯ + (xₙ−aₙ)² = r² 로 똑같습니다. 차원이 올라가도 정의는 그대로인 것이 수학의 힘이에요.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.