공통수학2 · 원의 방정식

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 2-02 [접선의 방정식] Q1~Q3 접선의 개수

접선이란?

원과 한 점에서만 만나는 직선을 접선, 그 점을 접점이라 합니다. 직선을 위아래로 움직여 접하는 순간을 찾아보세요.

직선 위치 k -4

중심에서 직선까지 거리 d 와 반지름 r 이 같아지는 순간!

접선의 핵심 성질 — 접점에서 반지름과 접선은 수직입니다(주황 직각 표시). 이 성질에서 모든 접선 공식이 나옵니다.

유형 ① 기울기가 주어질 때

📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 2-02 [접선의 방정식] (1) 기울기가 주어진 경우

📖교과서 37쪽 — 접선의 방정식을 세우는 두 가지 길을 함께 봅니다.

기울기 m 인 접선

원 x² + y² = r² 에 기울기가 m 으로 접하는 직선은 언제나 두 개입니다(위·아래로 나란히).

반지름 r 3

기울기 m 1

y = m x ± r m² + 1

유도 — 접선을 y = mx + k, 즉 mx − y + k = 0 이라 두면 중심 (0,0) 과의 거리 d = |k| / √(m²+1) 이고, 접할 조건은 d = r. 따라서 |k| = r√(m²+1) → k = ± r√(m²+1) → 부호 때문에 접선이 두 개!

유형 ② 접점이 주어질 때

🖥 보여주며 조작📄 학습지 2-02 [접선의 방정식] (2) 원 위의 한 점

원 위의 점에서의 접선

원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선입니다. 접점을 드래그 해서 원 둘레를 돌려 보세요.

접점 각도 40°

반지름(회색)과 접선(파랑)이 항상 수직입니다.

x₁ x + y₁ y = r²

유도 — 반지름 OP 의 기울기는 y₁/x₁ 이고, 접선은 이와 수직이므로 기울기가 −x₁/y₁. 점 (x₁,y₁) 을 지나므로 y − y₁ = −(x₁/y₁)(x − x₁) → 정리하면 x₁x + y₁y = x₁² + y₁² = r².

유형 ③ 원 밖의 점에서

✍️ 학습지에 적기📄 학습지 2-02 Q4 [예제 1] 원 밖의 점 (5, 0)

원 밖의 점에서 그은 접선

원 밖의 점 P 를 드래그 해 보세요. 그 점에서 원에 그을 수 있는 접선은 두 개입니다(안에 있으면 0개, 원 위면 1개).

두 접점을 이은 선을 ‘극선’이라 해요(고등 과정 밖, 참고).

푸는 방법

접선을 y − q = m(x − p) 로 놓는다 (P(p,q) 를 지남).
중심에서 이 직선까지의 거리 = r 로 두고 m 에 대한 방정식을 푼다.
m 이 보통 두 개 나옴 → 접선 두 개. (세로 접선이 답일 땐 x = p 도 확인!)

개념 탐구 · 놓친 접선

📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 2-02 [개념 탐구] 놓친 접선

📖교과서 40쪽 — [개념 탐구] 의 물음에 답하며 왜 접선을 놓쳤는지 확인합니다.

🕳 접선이 하나 사라졌다

점 A(2, 4) 에서 원 x² + y² = 4 에 그은 접선을 모두 구해 봅시다. 두 가지 방법으로 각각 풀어 보고, 결과를 비교합니다.

② 기울기 m 으로 놓았을 때

접선을 y − 4 = m(x − 2), 즉 mx − y + (4 − 2m) = 0 으로 놓는다.
중심 O 에서의 거리 = 반지름 : |4 − 2m| / √(m² + 1) = 2
양변을 제곱해 정리하면 16 − 16m = 4 → m = 3/4 — 단 하나!

그런데 그림에서는 접선이 분명히 두 개였습니다.

왜 하나를 놓쳤을까?

“y − q = m(x − p) 로 놓는다”는 말은 이미 기울기가 존재한다고 가정한 것입니다. 그래서 기울기가 없는 세로 직선 x = 2 는 처음부터 후보에서 빠져 있었습니다.
x = 2 는 중심에서의 거리가 정확히 2 (= 반지름) 이므로 진짜 접선입니다.

③ 접점을 (x₁, y₁) 으로 놓으면

접선은 x₁x + y₁y = 4. 이것이 A(2, 4) 를 지나므로 2x₁ + 4y₁ = 4
접점은 원 위의 점이므로 x₁² + y₁² = 4
연립하면 (2, 0) 과 (−6/5, 8/5) — 두 개 모두 나옵니다.
각각의 접선 : x = 2 와 3x − 4y + 10 = 0

정리 — 기울기를 내가 임의로 정한 경우에는 기울기가 없는 접선(x = k) 이 있는지 반드시 따로 확인해야 합니다. 접점으로 놓는 방법은 이런 빠짐이 없습니다.

정리

📖 교과서를 펴는 화면

📖교과서 39쪽 — [스스로 익히기] 문제를 해결합니다.

세 가지 접선 공식 정리

주어진 조건	접선의 방정식	개수
기울기 m (원 x²+y²=r²)	y = mx ± r√(m²+1)	2
원 위의 점 (x₁,y₁)	x₁x + y₁y = r²	1
원 밖의 점 P	y−q=m(x−p) 로 놓고 d = r	2

모든 공식의 뿌리는 하나 — “중심에서 접선까지의 거리 = 반지름”, 그리고 “접점에서 반지름 ⟂ 접선”. 공식을 외우기보다 이 두 문장에서 매번 만들어 보세요.

아래 ‘내 생각 적기’ 칸에, 원 x² + y² = 5 위의 점 (1, 2) 에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 반지름과 수직임을 기울기의 곱으로 확인해 보세요.

확장 탐구

🖥 보여주며 조작

🔭 더 넓게, 더 깊게

배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.

↔ 수평 확장 · 어디에 쓰일까

고속도로의 곡선 구간은 직선 구간과 접하도록 설계해야 차가 급격히 꺾이지 않습니다. 렌즈의 빛 반사, 위성이 지구를 스치는 궤도, 톱니바퀴의 맞물림도 접선 개념 위에 있습니다.

↕ 수직 확장 · 더 근본으로

접선은 ‘한 점에서만 만나는 직선’이지만, 더 근본적으로는 그 점에서 곡선이 향하는 방향입니다. 이 관점을 일반 곡선으로 넓힌 것이 미분(순간변화율)이고, y = f(x) 의 접선 기울기가 곧 f′(x) 예요. 지금 배운 원의 접선은 미적분의 예고편입니다.

🧗 도전 질문
타원 x²/a² + y²/b² = 1 위의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선은 x₁x/a² + y₁y/b² = 1 입니다. 원의 접선 x₁x + y₁y = r² 과 모양이 닮았죠? 왜 이런 규칙성이 생길지 추측해 보세요.

막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.

마무리

✍️ 오늘 수업 자유 기록

오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.

글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다. 선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.