테셀레이션은 무늬 하나를 반복해 평면을 빈틈도 겹침도 없이 덮는 것입니다. 먼저 평행이동만으로 도전해 봅시다. 옆으로 dx, 위로 dy 만큼 옮겨 가며 복사합니다.
타일 한 칸의 크기는 80 입니다. 간격이 그보다 작으면 겹치고, 크면 빈틈이 생겨요. 평면을 덮는 평행이동은 아무 값이나 되는 게 아니라 타일 크기의 배수여야 합니다.
이번엔 한 칸 걸러 뒤집어 봅시다. 가로 방향으로 뒤집으면 y축 대칭, 세로 방향으로 뒤집으면 x축 대칭을 칸마다 적용하는 것과 같아요.
칸마다 90°씩 더 돌리면 어떤 무늬가 될까요? 이슬람 미술과 건축은 원과 직선으로 만든 기본 형태를 반복·반사·회전시켜 무한히 이어지는 무늬를 만듭니다.
회전은 이 단원에서 식으로는 다루지 않지만, 앞 활동의 ‘합성 실험실’에서 보았듯 두 번의 대칭 = 회전입니다. 즉 회전도 결국 대칭이동으로 만들 수 있어요.
무늬와 변환을 마음대로 조합해 자신만의 무늬를 만들어 보세요. 어긋나기는 벽돌쌓기처럼 한 줄씩 밀어 놓는 것입니다.
마음에 드는 조합을 찾았다면, 아래 ‘내 생각 적기’ 칸에 어떤 이동들을 썼는지 적어 보세요. (예: 평행이동 + 좌우 뒤집기 + 어긋나기 50%)
| 사용한 이동 | 수학 이름 | 좌표에서는 |
|---|---|---|
| 옆으로·위로 복사 | 평행이동 | (x, y) → (x + a, y + b) |
| 좌우 뒤집기 | y축 대칭 | (x, y) → (−x, y) |
| 위아래 뒤집기 | x축 대칭 | (x, y) → (x, −y) |
| 180° 돌리기 | 원점 대칭 | (x, y) → (−x, −y) |
| 90° 돌리기 | 회전 (= 대칭 두 번) | (x, y) → (−y, x) |
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에 정리해 보세요.
(1) 첫 화면에서 빈틈도 겹침도 없이 덮이는 dx, dy 는 왜 하필 그 값이어야 했나요?
(2) 내가 만든 무늬에 쓰인 이동을 좌표 규칙으로 모두 적어 보세요.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다.
보도블록, 욕실 타일, 벌집, 거북 등딱지, 에스허르(Escher)의 판화, 게임의 배경 타일맵 — 모두 같은 원리입니다. 결정(crystal) 속 원자 배열도 3차원 테셀레이션이라, 이 수학이 재료공학의 기초가 됩니다.
정다각형 중 평면을 혼자서 빈틈없이 덮을 수 있는 것은 정삼각형·정사각형·정육각형 셋뿐입니다. 한 점에 모인 각의 합이 정확히 360°가 되어야 하기 때문이에요. 정오각형은 내각이 108°라 360°를 만들 수 없습니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.