마을 A 에서 출발해 강(x축)에서 물을 뜬 뒤 마을 B 로 갑니다. 강 위의 어느 지점 P 에 들러야 가장 짧게 갈 수 있을까요?
P 를 좌우로 드래그하며 거리 합을 직접 줄여 보세요.
어림짐작으로 찾기는 꽤 어렵습니다. 다음 화면에서 대칭이동을 쓰면 계산 없이 단번에 찾을 수 있어요.
마을 B(6, 5) 를 강(x축)에 대해 대칭이동한 점을 B′(6, −5) 라 합시다. P 가 강 위에 있으면 PB = PB′ 이므로,
즉 A, P, B′ 가 한 직선 위에 있을 때가 최소! 아래 토글을 켜서 확인해 보세요.
거울에 빛을 비추면 들어온 각과 나가는 각이 같습니다. 놀랍게도 이것은 빛이 가장 짧은(=가장 빠른) 길을 택하기 때문입니다. P 를 움직이며 두 각을 비교해 보세요.
두 각이 같아지는 순간, 거리 합도 최소가 됩니다. 기원전 1세기 헤론이 이미 이 사실을 증명했어요 (헤론의 반사 법칙).
흰 공 A(−5, −3) 로 오른쪽 벽(x = 6)을 한 번 맞혀 빨간 공 B(2, 4) 를 맞히려 합니다. 이번엔 대칭축이 세로선입니다. 어디를 겨냥해야 할까요?
벽 위의 점 P 를 위아래로 드래그해서 최단 경로를 찾아보세요. 힌트가 필요하면 토글을 켜세요.
직선 x = 6 에 대한 대칭은 이 단원의 네 가지(x축·y축·원점·y=x)에는 없지만,
원리는 똑같습니다 — 벽에서 같은 거리, 반대쪽으로 보내면 됩니다.
| 상황 | 대칭축 | 최단 거리 |
|---|---|---|
| A(−2, 3) → 강(x축) → B(6, 5) | x축 | AB′ = 8² + 8² = 82 ≈ 11.31 |
| A(−5, −3) → 벽(x = 6) → B(2, 4) | 직선 x = 6 | AB′ = 15² + 7² = 274 ≈ 16.55 |
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에 정리해 보세요.
(1) 왜 B 를 대칭이동해도 되는지, PB = PB′ 을 근거로 설명하세요.
(2) 마을 A(−2, 3), B(6, 5) 일 때 최단 지점 P 의 좌표를 직접 계산해 구하세요.
(직선 AB′ 의 방정식을 세우고 y = 0 을 대입)
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다.
당구·풋살의 벽 패스, 음향 설계(소리의 반사 경로), 통신 기지국 배치, 물류 창고에서 통로를 반드시 지나야 할 때의 최단 동선 — 모두 같은 문제입니다.
빛이 최단(최소 시간) 경로를 택한다는 생각을 페르마의 원리라 합니다. 공기에서 물로 들어갈 때 빛이 꺾이는 굴절도 여기서 나오고, 이 발상은 물리학 전체를 떠받치는 최소 작용의 원리로 이어집니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.