불국사 대웅전 앞에는 석가탑과 다보탑이 마주 서 있습니다. 아래 배치도를 보고 두 탑 사이의 거리를 말해 보세요.
그림에는 기준이 없기 때문입니다. 어디가 0 인지(원점),
1 이 얼마인지(단위)가 정해지지 않으면 “멀다/가깝다”만 말할 수 있을 뿐 수로 답할 수 없습니다.
수학이 도형을 다루는 첫걸음은 기준을 정하는 것 — 바로 좌표를 놓는 일입니다.
이 활동은 학습지 1-01 의 첫 질문과 이어집니다. 활동을 마친 뒤 학습지에 답을 적어 보세요.
두 탑을 잇는 선에 수직선을 놓았습니다. 그런데 원점(0)을 어디에 둘지는 우리 마음이죠. 슬라이더로 원점을 옮겨 보세요. 두 탑의 좌표는 달라지지만, 거리는 어떻게 되나요?
대웅전은 두 탑을 잇는 선 위에 있지 않습니다. 그래서 수 하나로는 위치를 말할 수 없고, 가로·세로 두 수가 필요합니다. 대웅전을 드래그해 보세요.
가로 변(빨강)과 세로 변(초록)으로 직각삼각형이 생기고, 빗변이 우리가 찾는 거리입니다 — 중학교에서 배운 피타고라스 정리 그대로예요.
데카르트는 두 탑을 잇는 일직선 사이에 서 있고, 석가탑까지의 거리가 다보탑까지의 2배입니다. P 를 드래그해 그 자리를 찾아보세요.
| 질문 | 좌표 없이 | 좌표를 놓으면 |
|---|---|---|
| 두 탑 사이 거리 | 말할 수 없음 | |b − a| |
| 대웅전까지 거리 | 자로 재야 함 | (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² |
| 2 : 1 인 지점 | 눈대중 | 내분점 공식 |
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에 정리해 보세요.
(1) 배치도만으로는 왜 거리를 말할 수 없었나요? 무엇이 더 필요했나요?
(2) 원점을 옮겨도 거리가 변하지 않는 이유를 |b − a| 로 설명하세요.
(3) 대웅전과 석가탑 사이의 거리를 구하는 방법을 자신의 말로 서술하세요.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다.
문화재 실측과 3D 스캔, 지도 앱의 위도·경도, 게임 속 캐릭터 위치, 로봇의 팔 끝 좌표 — 모두 “기준을 정하고 수로 말하기”입니다. 기준이 다르면 좌표는 달라져도 거리는 같다는 성질이 이 모든 시스템을 신뢰할 수 있게 만듭니다.
‘좌표를 바꿔도 변하지 않는 양’을 불변량이라 합니다. 거리는 평행이동·회전·대칭에 대한 불변량이에요. 현대 기하학은 아예 “어떤 변환에서 무엇이 불변인가”로 기하학의 종류를 나눕니다(클라인의 에를랑겐 프로그램).
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요.
도형을 좌표로 다루려면 가장 먼저 거리를 잴 줄 알아야 합니다. 먼저 수직선(1차원) 위에서부터 시작해요.
왜 절댓값일까요? 거리는 방향과 관계없이 항상 0 이상이기 때문입니다. a > b 여도 |b−a| 는 그대로 길이를 줍니다.
A, B 를 드래그 해 보세요. 가로 변(빨강)과 세로 변(초록)으로 직각삼각형이 만들어지고, 빗변이 바로 우리가 구하는 거리입니다. → 피타고라스 정리!
세 꼭짓점을 드래그 해 보세요. 세 변의 길이를 재어 이등변삼각형인지 직각삼각형인지 자동으로 판정합니다.
좌표만 알면 자·각도기 없이 도형의 성질을 알아낼 수 있어요. 이것이 좌표평면의 힘입니다.
점 P 를 드래그 하며 PA = PB 가 되는 자리를 찾아보세요. 그런 점들을 모으면 어떤 도형이 될까요?
| 상황 | 거리 |
|---|---|
| 수직선 위 A(a), B(b) | |b − a| |
| 좌표평면 위 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) | √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²} |
| 원점 O 와 A(x₁,y₁) | √(x₁² + y₁²) |
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에, 두 점 사이의 거리 공식이 피타고라스 정리에서 어떻게 나오는지 자신의 말로 설명하고, 세 점 A(0,0), B(4,0), C(0,3) 으로 만든 삼각형의 세 변의 길이를 구해 보세요.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.
내비게이션이 알려 주는 거리는 직선거리가 아니라 도로를 따라간 거리입니다. 도시처럼 길이 격자로 난 곳에서는 |Δx| + |Δy|(택시 거리)가 더 현실적이에요. 배달 경로·지하철 환승 계산이 이 거리를 씁니다.
거리를 3차원으로 늘리면 √(Δx² + Δy² + Δz²), n차원이면 제곱합의 제곱근으로 그대로 일반화됩니다. 수학에서는 ‘거리’를 ① 항상 0 이상 ② 같은 점끼리만 0 ③ 삼각부등식(돌아가면 멀다) 을 만족하는 것으로 정의하고, 이 조건만 지키면 무엇이든 거리로 인정합니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.
삼각형 ABC 에서 변 BC 의 중점을 M 이라 할 때, 다음이 언제나 성립한다고 합니다.
세 꼭짓점을 마음대로 드래그해 보세요. 어떤 삼각형으로 만들어도 두 막대의 길이가 같은가요?
아무리 찌그러뜨려도 두 값이 같습니다. 그런데 왜 그럴까요? 중학교식(논증 기하)으로 증명하려면 꽤 복잡합니다. 좌표를 쓰면 어떻게 될까요?
앞 활동에서 배웠듯 좌표는 우리가 정하는 것이고, 어떻게 잡아도 거리는 변하지 않습니다. 그렇다면 계산이 가장 쉬워지는 자리에 놓으면 되겠죠. 세 가지 배치를 비교해 보세요.
B(−c, 0), C(c, 0), M(0, 0), A(a, b) 로 놓습니다. 한 단계씩 스스로 해 본 뒤 열어 보세요.
AB² = (a − (−c))² + b² = (a + c)² + b²
AC² = (a − c)² + b²
더하면 (a² + 2ac + c²) + (a² − 2ac + c²) + 2b² = 2a² + 2b² + 2c²
— 2ac 가 서로 지워집니다!
AM² = (a − 0)² + (b − 0)² = a² + b²
BM² = (−c − 0)² + 0² = c²
2(AM² + BM²) = 2a² + 2b² + 2c²
양쪽이 완전히 같은 식이 되었습니다. 증명 끝!
위 화면의 삼각형을 다시 움직여 보면, a·b·c 값이 바뀌어도 두 식은 늘 같은 모양임을 확인할 수 있어요.
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에 정리해 보세요.
(1) B(−c, 0), C(c, 0) 으로 놓았을 때 계산이 쉬워진 결정적인 이유는 무엇인가요? (힌트: 어떤 항이 지워졌나요?)
(2) 만약 B(0, 0), C(2c, 0) 으로 놓았다면 어떻게 되는지 직접 계산해 비교해 보세요.
(3) 이 정리가 실제로 어디에 쓰일지 하나만 찾아 적어 보세요.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다.
여러 번 측정한 위치의 평균과 흩어짐을 다룰 때 이 식이 그대로 나타납니다. 로봇이 같은 지점을 여러 번 짚어 오차를 줄일 때, 물리에서 물체의 관성모멘트를 무게중심 기준으로 바꿔 계산할 때(평행축 정리)도 똑같은 구조예요.
이 정리는 사실 평행사변형 법칙과 같은 말입니다. BC 를 대각선으로 하는 평행사변형을 그리면 “두 대각선 제곱의 합 = 네 변 제곱의 합”이 되죠. 이 성질은 벡터의 길이를 다루는 모든 공간에서 성립합니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.