공통수학2 · 집합과 명제
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 4-02 [생각 틔우기] 설문조사

🍜 우리 반 급식 설문

선호 급식 메뉴를 우리 반 30명에게 물었더니 떡볶이 21명, 마라탕 15명, 둘 다 좋아하는 사람 9명 으로 조사되었습니다.

적어도 하나를 좋아하는 사람은 몇 명일까요? 21 + 15 = 36 은 왜 답이 아닐까요? 아래 그림을 눌러 가며 확인해 봅시다.
칸이 모두 몇 개로 나뉘나요?

두 원이 전체집합을 4칸으로 나눕니다 — 떡볶이만 12, 둘 다 9, 마라탕만 6, 둘 다 아님 3. 합하면 30명.

21 + 15 = 36 은 겹치는 9명을 두 번 센 값
→ 36 − 9 = 27명
스스로 정리하기
📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 4-02 [스스로 정리하기] 교과서 70~71쪽
📖교과서 70~71쪽 — ‘그리고 / 또는’ 이 집합에서 ∩ / ∪ 가 되는 지점을 짚습니다.

‘그리고’와 ‘또는’ 을 집합으로

기호뜻읽기
A ∪ B{ x | x ∈ A 또는 x ∈ B }합집합
A ∩ B{ x | x ∈ A 그리고 x ∈ B }교집합
A ∩ B = ∅공통인 원소가 하나도 없다서로소
Ac{ x | x ∈ U 그리고 x ∉ A }여집합
A − B{ x | x ∈ A 그리고 x ∉ B }차집합
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
겹치는 부분을 두 번 세지 않기
탐구 · 교환법칙
🖥 보여주며 조작📄 학습지 4-02 교환법칙 — 벤 다이어그램으로 보이기

순서를 바꿔도 될까? — 교환법칙

양쪽 그림에 같은 영역이 칠해지는지 확인해 봅시다. 아래 식을 눌러 보세요.

　
　
식을 하나 눌러 보세요.
왜 그럴까?

“A 에 속하고 그리고 B 에 속한다” 와 “B 에 속하고 그리고 A 에 속한다” 는 같은 말입니다. ‘또는’ 도 마찬가지죠. 말의 순서가 바뀌어도 뜻이 그대로라서 교환법칙이 성립합니다.

탐구 · 결합법칙
🖥 보여주며 조작📄 학습지 4-02 결합법칙 — 벤 다이어그램으로 보이기

괄호를 옮겨도 될까? — 결합법칙

원이 셋이면 전체집합이 8칸으로 나뉩니다. 괄호를 옮겨 가며 칠해 보세요.

　
　
식을 하나 눌러 보세요.
그래서 A ∩ B ∩ C, A ∪ B ∪ C 처럼 괄호 없이 써도 됩니다. 어디에 괄호를 넣든 결과가 같기 때문입니다.
탐구 · 분배법칙
🖥 보여주며 조작📄 학습지 4-02 [탐구하기] 분배법칙

∩ 과 ∪ 를 섞으면 — 분배법칙

수의 a × (b + c) = a × b + a × c 와 닮았습니다. 집합에서도 성립할까요?

　
　
식을 하나 눌러 보세요.
수와 다른 점

수에서는 + 가 × 에 분배되지 않습니다 (a + b × c ≠ (a+b) × (a+c)). 그런데 집합에서는 ∩ 도 ∪ 에, ∪ 도 ∩ 에 양쪽 모두 분배됩니다. 그림으로 직접 확인해 보세요.

정리하기
📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 4-02 [정리하기] 집합의 연산법칙

집합의 연산법칙

법칙식
① 교환법칙 A ∩ B = B ∩ A   /   A ∪ B = B ∪ A
② 결합법칙 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
③ 분배법칙 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
기억하는 방법
  • 교환 — 자리를 바꾼다
  • 결합 — 괄호를 옮긴다
  • 분배 — 괄호를 풀어 나눠 준다. 이때 바깥 기호가 각각에 붙는다.
탐구 · 여집합과 차집합
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 4-02 [탐구하기] 여집합과 차집합 · 교과서 74쪽

여집합과 차집합

전체집합 U = { x | x 는 10 이하의 자연수 }, A = { 1, 2, 5, 10 }, B = { 2, 4, 6, 8, 10 } 일 때. 버튼을 눌러 영역을 칠하고, 원소를 확인해 보세요.

기호원소나열법말로 설명하면
Ac U 에는 있고 A 에는 없는 것
A − B A 에는 있고 B 에는 없는 것
B − A B 에는 있고 A 에는 없는 것
A ∩ Bc A 에 속하면서 B 에 속하지 않는 것
같은 결과가 나온 두 칸은 A − B 와 A ∩ Bc 입니다. 그래서 A − B = A ∩ Bc 라고 쓸 수 있습니다. 차집합은 여집합과의 교집합으로 바꿔 쓸 수 있다는 뜻이에요.
A − B 와 B − A 는 같은가요?

{ 1, 5 } 와 { 4, 6, 8 } — 다릅니다. 즉 차집합에는 교환법칙이 성립하지 않습니다. 뺄셈에서 3 − 5 ≠ 5 − 3 인 것과 같습니다.

오류 찾기
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 4-02 ■[오류 찾기] 교과서 75쪽 역량 키우기

🔍 어디가 잘못되었을까?

A = { 2, 3, 6 }, B = { 1, 2, 4, 8 } 일 때 n(A − B) 를 구하려고 합니다. 어떤 학생이 이렇게 풀었습니다.

학생의 풀이

n(A − B) = n(A) − n(B) 이니까 …
= 3 − 4 = −1 ?   개수가 음수가 나왔다!

바르게 풀어 봅시다

A − B 는 A 에서 B 와 겹치는 부분만 덜어 낸 것입니다. B 에만 있는 1, 4, 8 은 애초에 A 에 없으므로 뺄 수 없습니다.

A ∩ B = { 2 } 이므로   A − B = { 3, 6 }  →  n(A − B) = 2

n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)

A − B = A ∩ Bc 로 바꿔 생각하면 “A 안에서 B 를 뺀다” 는 뜻이 분명해집니다.

탐구 · 드모르간의 법칙
🖥 보여주며 조작📄 학습지 4-02 ■[탐구] 드모르간의 법칙 · 교과서 76쪽

여집합을 씌우면 기호가 뒤집힌다

벤 다이어그램에 색칠해 가며 두 식이 같은 영역인지 확인해 봅시다.

　
　
식을 하나 눌러 보세요.
‘또는’의 여집합은 ‘둘 다 아니다’   /   ‘그리고’의 여집합은 ‘적어도 하나는 아니다’
이어서 생각해 보기

(A − B)c 와 (B − A)c 는 어떻게 될까요? 위의 버튼으로 직접 칠해 보고, A − B = A ∩ Bc 를 이용해 정리해 보세요.

(A − B)c = (A ∩ Bc)c = Ac ∪ B  드모르간 + (Bc)c = B

(B − A)c = (B ∩ Ac)c = Bc ∪ A

연습하기 ①
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 4-02 ■[연습하기] Q1

원소로 확인하기

U = { x | x 는 12 이하의 자연수 }, A = { x | x 는 3의 배수 }, B = { x | x 는 12의 약수 }

기호원소나열법개수
A ∪ B7
A ∩ B3
Ac8
A − B1
(A ∪ B)c5
Ac ∩ Bc5
마지막 두 칸이 같습니다 — 드모르간의 법칙을 원소로 확인한 것입니다.
연습하기 ②
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 4-02 ■[연습하기] Q2

개수로 계산하기

n(U) = 40, n(A) = 22, n(B) = 18, n(A ∩ B) = 7 일 때. 그림의 각 칸에 인원이 채워집니다.

구하는 것값세우는 식
n(A ∪ B) n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 22 + 18 − 7
n(Ac) n(U) − n(A) = 40 − 22
n(A − B) n(A) − n(A ∩ B) = 22 − 7
n(Ac ∩ Bc) n((A ∪ B)c) = n(U) − n(A ∪ B) = 40 − 33
넷째 칸에서 드모르간이 계산을 줄여 줍니다. Ac ∩ Bc 를 따로 세지 않고 (A ∪ B)c 로 바꿔 전체에서 빼면 끝입니다.
예제 1
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 4-02 [예제1]

[예제 1]

전체집합 U 의 두 부분집합 A, B 에 대하여
n(U) = 50, n(A) = 7, n(B) = 16, n(A ∪ B) = 21 일 때, n(Ac ∩ Bc) 을 구하시오.
풀이

드모르간의 법칙에서 Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c 이므로

n(Ac ∩ Bc) = n(U) − n(A ∪ B) = 50 − 21 = 29

참고 — n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 7 + 16 − 21 = 2. 주어진 값들이 서로 어긋나지 않는지 이렇게 확인할 수 있습니다.

생각 키우기
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 4-02 ■[생각 키우기] 세 집합으로

⚽ 세 집합으로

학생 100명 중 축구 52명, 야구 40명, 농구 30명, 축구와 야구 18명, 야구와 농구 12명, 축구와 농구 15명, 셋 다 7명.

구하는 것값세우는 식
적어도 하나를 좋아하는 학생 52+40+30 − 18−12−15 + 7
셋 다 싫어하는 학생 100 − 84
축구만 좋아하는 학생 52 − 18 − 15 + 7 두 번 뺀 7을 되돌린다
n(A ∪ B ∪ C) = n(A)+n(B)+n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)
개념 확장 탐구
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 4-02 ■[스스로 익히기] 교과서 71·73·75·77쪽

🔭 더 넓게, 더 깊게

칸을 직접 눌러 색칠해 보고, 그 영역을 나타내는 식을 찾아보세요.

더 생각해 볼 것
  • 4칸 중 아무 칸이나 골라 칠했을 때, 그 영역을 나타내는 식은 항상 하나뿐일까요?
  • 대칭차집합 (A − B) ∪ (B − A) 는 어떤 영역인가요? ‘둘 중 정확히 하나’ 를 뜻합니다.
  • A ⊂ B 이면 A ∪ B, A ∩ B, A − B 는 각각 무엇이 될까요?
  • 교과서 71·73·75·77쪽 문제를 해결하고, 막힌 곳을 아래에 적어 두세요.
마무리

✍️ 오늘 수업 자유 기록

오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.

글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다. 선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.
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