아래는 어떤 사람이 쓴 주장 글의 일부입니다. 숨겨진 진실과 거짓을 밝혀 봅시다.
| 문장 | 따질 수 있다 / 없다 |
|---|
| 문장 | 참/거짓 | 까닭 |
|---|---|---|
| (A) | 거짓 | 멀리 볼수록 수평선은 완만하게 휘어 있다 |
| (D) | 참 | 실제로 그런 주장을 한다 — 사실 서술 |
| (I) | 참 | 중력은 실재한다 |
| (J) | 거짓 | 중력은 지구 중심 방향으로 작용한다 |
(B)는 물음, (F)·(L)은 ‘맹점·용기’ 같은 판단어, (M)은 권유 — 모두 참·거짓이 정해지지 않습니다.
글쓴이는 (I)와 (J)를 나란히 놓고 “따라서”라며 (K)를 내밀었습니다.
(1) 이때 결론 (K)에 대해 말할 수 있는 것은?
참인 문장을 하나 끼워 넣으면 글 전체가 믿을 만해 보입니다. 이것이 잘못된 주장이 퍼지는 가장 흔한 방법이에요.
(3) 그렇다면 참인 결론을 얻으려면?
전제가 모두 참이어야 하고, 전제에서 결론으로 가는 연결도 옳아야 합니다.
그 연결을 따지는 도구가 바로 이번 단원에서 배울 명제입니다.
다음 중 명제가 아닌 것을 찾고, 명제이면 참·거짓을 판별해 봅시다. 각 줄에서 버튼을 눌러 판단하세요.
| 문장 | 판단 |
|---|
‘운동장은 매우 넓다.’ 입니다. ‘넓다’의 기준이 없어 명제가 아니지만, 기준을 정하면 명제가 됩니다. 예) ‘운동장의 넓이는 5000 m² 이상이다.’
한편 x² = 4, 3x + 1 < 4x, ‘x는 3과 5의 최소공배수이다’ 는
문자를 포함해 x 값에 따라 참·거짓이 갈립니다. 이런 것을 조건이라 합니다.
다음 화면에서 이어집니다.
문자를 포함하는 문장이나 식이 문자의 값에 따라 참·거짓이 정해질 때, 이를 조건이라 합니다. 전체집합 U의 원소 중 그 조건을 참이 되게 하는 모든 원소의 집합이 진리집합입니다.
①과 ②가 서로 여집합, ③과 ④도 서로 여집합입니다. U 안에서 두 집합을 합치면 U 가 되고, 겹치는 부분은 없습니다.
| 용어 | 뜻 |
|---|---|
| 명제 | 참, 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식 |
| 조건 | 문자를 포함하는 문장이나 식이 그 문자의 값에 따라 참, 거짓이 정해질 때 그 문장이나 식 |
| 진리집합 | 전체집합 U 의 원소 중에서 어떤 조건이 참이 되게 하는 모든 원소의 집합 |
| 부정 | 명제 또는 조건 p 에 대하여 ‘p 가 아니다’ — 기호로 ~p (not p) |
명제 또는 조건 p 에 대하여 ‘p 가 아니다’를 p 의 부정이라 하고 ~p (not p) 로 씁니다.
| 원래 조건 p | 부정 ~p |
|---|---|
| x > 2 | x ≤ 2 ‘크지 않다’ 는 ‘작거나 같다’ |
| x = 3 | x ≠ 3 |
| √2 는 무리수이다 | √2 는 무리수가 아니다 (거짓) |
자연수 전체에서 두 조건 p : x 는 6의 약수, q : x 는 8의 약수 를 생각합시다. P = {1, 2, 3, 6}, Q = {1, 2, 4, 8} 입니다.
조건 p : (x + 2)(x − 4) = 0 의 진리집합은 P = { −2, 4 } 입니다.
이때 부정은 ~p : (x + 2)(x − 4) ≠ 0 이고, 그 진리집합은 Pc = { x | x ≠ −2 이고 x ≠ 4 인 실수 } 입니다.
‘= 0’ 의 부정이 ‘≠ 0’ 이고, ‘−2 또는 4’ 의 부정이 ‘−2 도 아니고 그리고 4 도 아니다’ 로 바뀌는 것에 주목하세요.
(P ∩ Q)c = Pc ∪ Qc ·
(P ∪ Q)c = Pc ∩ Qc
집합에서 배운 그 법칙이 말로 옮겨진 것뿐입니다.
‘또는’의 여집합은 ‘둘 다 아니다’ — 기억나시나요?
어느 햄버거 가게의 행사 기간 가격표입니다. 아래 두 홍보문이 적절한지 판단해 봅시다.
| 세트 메뉴 | 정가 | 행사가 | 할인액 |
|---|---|---|---|
| 불고기버거 세트 | 8,900 | 4,900 | 4,000 |
| 새우버거 세트 | 9,500 | 4,900 | 4,600 |
| 치즈버거 세트 | 7,400 | 4,900 | 2,500 |
| 치킨버거 세트 | 8,200 | 5,900 | 2,300 |
조건 p : x ≥ 2 는 x 값에 따라 참·거짓이 바뀌므로 명제가 아닙니다. 그런데
조건에 ‘모든 / 어떤’ 과 ‘범위(전체집합)’ 를 붙이면 참·거짓이 정해집니다. 즉 명제가 됩니다.
전체집합 U = { 1, 2, 3, 4 } 에서 네 명제를 확인해 봅시다. 명제를 눌러 보세요.
조건 ‘p : x² = 4’ 의 진리집합은 P = { −2, 2 } 이고 U 는 실수 전체입니다. P ≠ U 이므로 이 명제는 거짓입니다. 반례: x = 1 일 때 1 ≠ 4
조건을 바꾸어 참인 명제를 만들어 봅시다. 아래를 눌러 확인하세요.
x² ≥ 0 이므로 x² + 3 ≥ 3 > 0. 진리집합은 P = ∅ 이고, ‘어떤’ 명제는 P = ∅ 이면 거짓입니다.
우리 반 학생들의 통학 수단 조사입니다.
| 걸어서 | 자동차 | 버스 | 지하철 | 비행기 |
|---|---|---|---|---|
| 16 | 5 | 5 | 7 | 11 |
아래 두 문장 중, 부정한 명제에 가까운 쪽을 골라 보세요.
‘모든 학생이 걸어서 등교한다’ 가 틀렸다는 말은, ‘모든 학생이 교통수단을 이용한다’ 는 정반대의 주장이 아닙니다.
걸어서 오지 않는 학생이 한 명이라도 있으면 원래 명제는 무너집니다. 그래서 부정은 ‘어떤 학생은 걸어서 등교하지 않는다’ 입니다.
진리집합으로 보면 (교과서 86쪽) — ‘P = U’ 의 부정은 ‘P ≠ U’, 즉 Pc ≠ ∅ 이고, ‘P ≠ ∅’ 의 부정은 ‘P = ∅’, 즉 Pc = U 입니다.
다음 명제의 부정을 말하고, 그것의 참·거짓을 판별하시오. 먼저 스스로 해 본 뒤 여세요.
| 원래 명제 | 부정 | 부정의 참거짓 |
|---|---|---|
| (1) 모든 실수 x 에 대하여 | x − 2 | > 0 이다. |
||
| (2) 어떤 실수 x 에 대하여 x² = x + 1 이다. |
(1) x = 2 일 때 | x − 2 | = 0 이므로 원래 명제는 거짓. 따라서 그 부정은 참입니다. 거짓의 부정은 참
(2) x² − x − 1 = 0 의 판별식 D = 1 + 4 = 5 > 0 이라 실근이 있습니다. 원래 명제가 참이므로 그 부정은 거짓입니다.
찬우의 길 — P = ∅ 이려면 x² − 8x + a ≤ 0 을 만족하는 실수가 없어야 합니다. 즉 모든 실수에서 x² − 8x + a > 0. 판별식 D/4 = 16 − a < 0 → a > 16
지영의 길 — 부정은 ‘모든 실수 x 에 대하여 x² − 8x + a > 0’ 이고 이것이 참이어야 합니다. 같은 판별식 조건 → a > 16
‘어떤 ~ 이다’ 가 거짓 = 진리집합이 공집합 = ‘모든 ~ 이 아니다’ 가 참. 세 표현이 같은 말입니다.
실생활이나 다른 과목에서 ‘모든’ 또는 ‘어떤’ 이 들어간 명제를 만들고, 참·거짓을 판별해 봅시다.
| ‘모든’ 명제 | 예) 모든 액체는 1기압에서 100 ℃ 에 끓는다. → 거짓 (반례: 에탄올은 78 ℃) |
|---|---|
| ‘어떤’ 명제 | 예) 어떤 나라의 화폐 단위는 유로이다. → 참 (독일·프랑스 등) |
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.