공통수학2 · 집합과 명제
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 5 · 2-02 [생각 열기] 로또 약속
🎟 약속을 어긴 것은 언제일까?
A가 B에게 이렇게 약속했습니다.
“내가 로또 1등에 당첨된다면, 너한테 2억원을 줄게.”
이 명제를 두 개의 조건으로 나누어 이름을 붙여 봅시다.
p : 로또 1등에 당첨된다 /
q : B에게 2억원을 준다
다음 세 상황 중 A가 약속을 어긴 경우를 찾아 보세요.
가정이 거짓이면?
🖥 보여주며 조작📄 학습지 5 · 2-02 [생각 열기] 정리 — 약속을 어긴 경우는 하나뿐
p → q 는 언제 거짓일까?
앞의 세 상황을 표로 정리해 봅시다. 줄을 눌러 확인하세요.
명제 p → q 는
p 가 참인데 q 가 거짓일 때 오직 그때만 거짓이다.
가정이 거짓이면 왜 참일까?
당첨이 되지 않았다면 약속은 아직 시험대에 오르지 않은 것입니다.
어기지 않았으니 약속은 그대로 유효합니다. 수학에서도 마찬가지로,
가정이 거짓이면 그 명제는 참으로 봅니다.
거꾸로 말하면 — 가정이 거짓인 논증은
결론에 대해 아무것도 보장하지 못합니다.
2-01 을 떠올려 봅시다 — [지구는 평평한가?] 3단계에서
(J)가 거짓이었기 때문에 결론 (K)에 대해 아무 말도 할 수 없었습니다.
바로 이 표의 아래 두 줄이 그 까닭입니다.
가정과 결론
📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 5 · 2-02 명제 p → q 의 구성요소 · 교과서 84쪽
📖교과서 84쪽 — ‘p이면 q이다’ 의 가정과 결론을 함께 짚습니다.
가정과 결론
두 조건 p, q 로 이루어진 명제 ‘p 이면 q 이다’ 를 기호로 p → q 라 쓰고,
p 를 가정, q 를 결론이라고 합니다.
x = 2 이면 x² = 4 이다
↑ 가정 p ↑ 결론 q
다음 네 문장에서 가정과 결론을 찾아봅시다. 문장을 눌러 확인하세요.
주의 — (4)처럼 ‘~하면 ~이다’ 가 아니라
‘~할 때’, ‘~인 경우’ 로 쓰인 문장도 있습니다. 조건 두 개로 갈라 보는 것이 먼저입니다.
진리집합으로 판별하기
🖥 보여주며 조작📄 학습지 5 · 2-02 명제 ①② 의 논리적 흐름
‘모조리’ 들어가는가?
세 조건을 놓고 봅시다.
p : x 는 4의 약수 / q : x 는 8의 약수 / r : x 는 6의 약수
논리적 흐름 — 이렇게 따집니다
- (1) 가정 p 에서 x 가 될 수 있는 값은 1, 2, 4. 이 값들이 모조리 결론을 만족하는가?
- (2) 진리집합을 써 본다. P = {1, 2, 4}, Q = {1, 2, 4, 8}, R = {1, 2, 3, 6}
- (3) P ⊂ Q 이므로 p → q 는 참.
P ⊄ R 이므로 p → r 은 거짓.
반례 — p → r 이 거짓임을 보이려면
가정은 만족하지만 결론은 만족하지 않는 예를 하나만 찾으면 됩니다.
여기서는 x = 4 — 4의 약수이지만 6의 약수는 아닙니다.
정리
📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 5 · 2-02 명제 p → q 의 참·거짓 판별 · 교과서 84쪽
P ⊂ Q ⟺ p → q 는 참
| 진리집합 | 명제 p → q |
|---|
| P ⊂ Q | 참 — p 가 참이 되는 모든 경우에 q 도 참 |
| P ⊄ Q | 거짓 — p 는 참이지만 q 는 거짓인 원소가 있다 (반례) |
예시 — 명제 ‘x = −1 이면 x² = 1 이다’ 에서
p : x = −1, q : x² = 1 이므로 P = {−1}, Q = {1, −1}.
P ⊂ Q 이므로 이 명제는 참입니다.
판별 연습
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 5 · 2-02 명제 ①~④ 판별하기
세 단계로 판별하기
[1단계] 가정과 결론 구분 → [2단계] 각각의 진리집합 → [3단계] 포함 관계로 결론
①번을 자세히 — p : x ≤ 2, q : 3x − 5 < 0 (즉 x < 5/3).
P = { x | x ≤ 2 }, Q = { x | x < 5/3 }. P ⊄ Q 이므로 거짓이고,
반례는 x = 2 — 2 ∈ P 이지만 2 ∉ Q 입니다.
연결 문제
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 5 · 2-02 [연결 문제] 참이 되는 명제를 만들려면?
참이 되게 하려면 — 수직선으로
세 조건 p : −2 < x ≤ 1, q : x > a, r : | x − b | < 4 에 대하여
두 명제 p → ~q, p → r 가 모두 참이 되도록 하는 상수 a, b 의 값의 범위를 구하시오.
풀이
P = { x | −2 < x ≤ 1 }
p → ~q 가 참 ⟺ P ⊂ (~Q).
~q : x ≤ a 이므로 P 의 오른쪽 끝 1까지 덮으려면 a ≥ 1
p → r 이 참 ⟺ P ⊂ R.
r : b − 4 < x < b + 4 이므로
왼쪽 : b − 4 ≤ −2 → b ≤ 2
오른쪽 : 1 < b + 4 → b > −3
a ≥ 1 , −3 < b ≤ 2
끝점에서 등호가 되는지 아닌지를 꼭 따져 보세요.
P 의 왼쪽 끝 −2 는 P 에 포함되지 않으므로 b − 4 = −2 라도 괜찮습니다.
역과 대우
🖥 보여주며 조작📄 학습지 5 · 2-02 역·대우 · 교과서 88쪽
📖교과서 88쪽 [생각 틔우기] — “대한민국 국민이 아니면 피선거권이 없다” 를 뒤집어 봅니다.
역 · 대우
명제 p → q 에 대하여
역 : q → p (가정과 결론을 바꾼다)
대우 : ~q → ~p (바꾸고 부정한다)
만드는 법
원래 p → q
역 q → p
이 ~p → ~q
대우 ~q → ~p
대우는 ‘역’ 과 ‘이’ 를 둘 다 거친 것입니다.
교과서 88쪽 [생각 틔우기]
“대한민국 국민이 아니면 대한민국 국회의원 피선거권이 없다.”
→ “대한민국 국회의원 피선거권이 있으면
.”
두 문장은 서로 대우 관계라서 뜻이 같습니다.
대우의 참·거짓
🖥 보여주며 조작📄 학습지 5 · 2-02 명제 ②~④ · 교과서 88~89쪽
명제와 대우는 운명을 같이한다
P ⊂ Q ⟺ Qc ⊂ Pc
그래서 명제와 그 대우의 참·거짓은 언제나 일치합니다.
세 명제의 역과 대우를 판별해 봅시다. 명제를 눌러 보세요.
역은 다를 수 있습니다. 원래 명제가 참이어도 역은 거짓일 수 있어요.
참·거짓이 늘 같은 것은 대우뿐입니다.
역량 키우기
🖥 보여주며 조작📄 교과서 89쪽 [역량 키우기] 카드 네 장
🃏 어느 카드를 뒤집어야 할까?
한 면에는 숫자가, 다른 면에는 알파벳이 적힌 카드 네 장이 놓여 있습니다.
명제 : “카드의 한 면에 알파벳 자음이 적혀 있으면, 다른 쪽 면에는 짝수가 적혀 있다.”
이 명제가 참인지 확인하기 위해 반드시 뒤집어 보아야 하는 카드를 모두 고르세요.
대우로 보면 한눈에
p : 자음이다 / q : 짝수이다 → 확인할 명제는 p → q
K (자음) — p 가 참. 뒷면이 홀수이면 명제가 무너집니다. 뒤집어야 함
7 (홀수) — ~q 가 참. 대우 ~q → ~p 를 확인하는 자리입니다.
뒷면이 자음이면 명제가 무너집니다. 뒤집어야 함
A (모음) — p 가 거짓. 가정이 거짓이면 명제는 참이므로 볼 필요가 없습니다.
4 (짝수) — q 가 참. 뒷면이 무엇이든 명제는 무너지지 않습니다.
이 카드를 뒤집는 것은 역 q → p 를 확인하는 일이지, 원래 명제가 아닙니다.
답 K 와 7
생각 열기 · 필요와 충분
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 5 · 2-02 [생각 열기] 대학 커트라인
🎓 합격하려면 무엇이 필요할까
탄지로 · 19세 · 내신 2.3 · 모의고사 2합 4 / 3합 7
| 대학 · 학과 | 전형 | 내신 80% 컷 | 수능 최저 |
|---|
수도권 사립 A 대학
동양요괴 학과 | 교과 100% | 2.0 | 3합 5 |
지방거점국립 B 대학
명상호흡 학과 | 교과 100% | 2.6 | 3합 7 |
Q2. 조건 p : A 대학에 합격, q : B 대학에 합격 이라 할 때,
탄지로의 입장에서 항상 참인 명제를 만들어 보세요.
A 의 기준이 더 빡빡합니다. A 를 뚫을 실력이면 B 는 자동으로…
충분조건과 필요조건
📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 5 · 2-02 집합의 원소 관점 · 교과서 90쪽
충분조건 · 필요조건 · 필요충분조건
명제 p → q 가 참일 때 이를 p ⇒ q 로 쓰고, 이때
p 는 q 이기 위한 충분조건
q 는 p 이기 위한 필요조건
| 진리집합 | p 는 q 이기 위한 |
|---|
| P ⊂ Q | 충분조건 p ⇒ q |
| Q ⊂ P | 필요조건 q ⇒ p |
| P = Q | 필요충분조건 p ⇔ q |
왜 ‘필요’ 라고 부를까?
P ⊂ Q 일 때, Q 안에 들어가는 것은 P 에 들어가기 위해
반드시 먼저 통과해야 하는 관문입니다. 하지만 그것만으로는 모자라죠 —
그래서 필요하지만 충분하지는 않습니다.
앞 화면으로 돌아가 보세요. A 합격은 B 합격이기 위한 충분조건,
B 합격은 A 합격이기 위한 필요조건이었습니다.
판단 연습
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 5 · 2-02 판단하기 3단계 · 교과서 91쪽
p 는 q 이기 위한 무슨 조건?
[1단계] 두 조건의 진리집합 → [2단계] 포함 관계 → [3단계] 기호로 쓰고 결론
요령 — 진리집합을 그린 뒤 작은 쪽이 충분조건입니다.
“작은 것 ⇒ 큰 것” 이라고 외워 두면 헷갈리지 않습니다.
역량 키우기 · 정리
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 교과서 91쪽 [역량 키우기] 삼단논법 · 학습지 5 · 2-02 Q1·Q2
🔗 삼단논법 — 조건을 사슬로 잇기
(전제 1) 고래는 포유류이다. (전제 2) 포유류는 동물이다.
(결론) 따라서 고래는 동물이다.
두 전제가 참이면 삼단논법의 결론은 항상 참입니다.
세 조건 p, q, r 에 대하여 p 는 r 이기 위한 충분조건, q 는 r 이기 위한 필요조건 일 때,
다음 중 참인 것을 모두 찾아보세요.
주어진 것
p ⇒ r → P ⊂ R
r ⇒ q → R ⊂ Q
집합으로 바꾸어 보기 (교과서 91쪽 2번)
두 집합 A, B 에 대하여 조건 p : A ∩ B = A, q : A ∪ B = B 일 때
p 는 q 이기 위한 무슨 조건일까요?
A ∩ B = A ⟺ A ⊂ B 이고, A ∪ B = B ⟺ A ⊂ B 입니다.
두 조건이 같은 말이므로 필요충분조건입니다.
집합 단원에서 배운 것이 그대로 쓰입니다.
벤 다이어그램을 그려 A 가 B 안에 쏙 들어간 모습을 떠올려 보세요.
개념 확장 탐구
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 5 · 2-02 Q1·Q2 · 교과서 89·91쪽 [스스로 익히기]
🔭 더 넓게, 더 깊게
Q1. 필요조건과 충분조건을 구분짓기 위한 나만의 방법
아래 기록칸에 만들어 적고, 친구들과 비교해 보세요.
예) 화살표가 나가면 충분, 들어오면 필요 / 작은 집합이 충분
더 생각해 볼 것
- 명제가 참이면 대우도 참인데, 역은 왜 그렇지 않을까요? 반례를 하나 만들어 보세요.
- ‘p 는 q 이기 위한 필요충분조건’ 일 때, p 와 q 의 진리집합은 어떤 관계인가요?
- 교과서 89쪽 [스스로 익히기] 1~3번, 91쪽 1~3번을 해결하고 막힌 곳을 아래에 적어 두세요.
- 2-01 에서 미뤄 둔 문제 — 교과서 85쪽 [스스로 익히기] 4번이
바로 ‘p 이면 q 이다’ 의 참·거짓 문제입니다. 이제 풀 수 있습니다.
마무리
✍️ 오늘 수업 자유 기록
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을
아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.
글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다.
선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.
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