공통수학2 · 집합과 명제

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 5 · 2-03 [생각 열기] 갈릴레이의 사고실험

🪶 갈릴레이의 사고실험

옛날 사람들은 “무거운 물체가 더 빨리 떨어진다”라고 믿었습니다. 그런데 갈릴레이는 이렇게 생각했지요.

“만약 무거운 물체가 가벼운 물체보다 빨리 떨어진다면, 두 물체를 묶어서 동시에 떨어뜨리면 어떻게 될까?

가벼운 물체가 느리게 끌어주니 전체 속도는 느려져야 하고,
무거운 물체가 포함됐으니 전체는 더 빨라져야 해.

그런데 한꺼번에 더 느려지고 더 빨라질 수는 없잖아?”

이렇게 모순이 생기니까, 원래 믿음이 잘못되었다는 것을 알 수 있었습니다. 그래서 갈릴레이는 결론을 내렸어요 — 👉 “무거운 물체와 가벼운 물체는 동시에 떨어진다!”

증명이란

가설(명제)이 참인지 밝혀내는 것을 증명이라고 합니다. 증명에는 탄탄한 논리적 근거가 필요하며, 반박 가능성을 제거해야 합니다.

증명의 필요성

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 5 · 2-03 [증명의 필요성] 두 홀수의 합

‘두 홀수의 합은 항상 짝수’

2-01 을 기억하시나요? 명제 판별에서 나왔던 바로 그 문장입니다. 그때는 참인 명제라고만 했지요. 이제 왜 참인지 밝혀 봅시다.

Q1. 그냥 주장하면 모두가 믿어 줄까요? 아래를 눌러 보세요.

Q2. 이 증명을 읽으면 납득이 되나요?

각 줄을 눌러 보면 왜 그렇게 썼는지 나옵니다.

용어 정리

📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 5 · 2-03 [스스로 정리하기]·[정의와 정리] · 교과서 92쪽

📖교과서 92쪽 [생각 틔우기] — “닮음이라는 건 말이야…” 용어의 뜻을 정확히 정해야 하는 까닭을 이야기합니다.

설득을 위한 말 다듬기

용어	뜻
정의	용어의 뜻을 간결하고 명확하게 정한 문장 예) 세 변의 길이가 같은 삼각형을 정삼각형이라 한다
정리	참임이 증명된 명제 중 기본이 되거나 다른 증명에 쓰이는 것 예) 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다
증명	정의와 이미 참으로 밝혀진 사실을 근거로 명제가 참임을 보이는 것
대우를 이용한 증명법	명제와 대우는 참·거짓을 공유하므로, 증명하기 어려울 때 대우를 증명하는 방법
귀류법	명제의 부정이 참이라고 가정하여 이미 알려진 사실에 모순이 됨을 보임으로써 원래 명제가 참임을 보이는 방법

정의일까, 정리일까?

다음 문장을 정의와 정리로 갈라 봅시다. ‘약속한 것’ 이면 정의, ‘증명해서 알아낸 것’ 이면 정리입니다.

문장	구분

교과서 따라잡기 · 직접증명

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 5 · 2-03 [교과서 따라잡기] 기본 증명 방법

참인 사실에서 결론으로

증명하시오 — a ≥ 0, b ≥ 0 일 때, a ≥ b 이면 a² ≥ b² 이다.

증명에서 가장 중요한 것은 알고 있는 참인 사실에서 출발해 결론을 이끌어 내는 것입니다. 결론에서 거꾸로 출발하면 안 됩니다.

이것이 직접증명

참인 사실에서 결론에 도달하는 이 방법을 연역법(확고한 대전제로부터 이끌어냄)의 한 갈래인 직접증명이라 합니다.

증명 연습

다음 세 가지도 같은 방식으로 증명해 봅시다. 눌러서 길잡이를 확인하세요.

대우를 이용한 증명

🖥 보여주며 조작📄 학습지 5 · 2-03 [대우를 이용한 증명법] · 교과서 92쪽

돌아가면 쉬워진다 — 대우

증명하시오 — 자연수 n 에 대하여 n² 이 홀수이면 n 도 홀수이다.

왜 돌아갈까? ‘n² 이 홀수’ 에서 출발하면 n 에 대해 말할 수 있는 것이 마땅치 않습니다. 그런데 대우로 바꾸면 ‘n 이 짝수’ 에서 출발하니 n = 2k 로 놓을 수 있어요.

명제와 대우는 참·거짓이 일치하므로, 대우가 참이면 원래 명제도 참입니다.

직접 해 봅시다

귀류법

🖥 보여주며 조작📄 학습지 5 · 2-03 [귀류법] √2 · 교과서 93쪽

√2 는 유리수가 아니다

바로 앞에서 증명한 것을 여기서 두 번 씁니다.
‘n² 이 홀수이면 n 도 홀수’ 를 뒤집으면 — ‘n² 이 짝수이면 n 도 짝수’. 이것이 이 증명의 열쇠입니다.

한 줄씩 눌러 가며 따라가 보세요.

귀류법의 뼈대

[1단계] 결론을 부정해서 가정한다 (√2 가 유리수라고 하자)
[2단계] 따라가다 모순을 만난다 (서로소인데 둘 다 짝수)
[3단계] 부정이 거짓이므로 원래 명제가 참이다

귀류법 연습

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 5 · 2-03 귀류법 연습 2문항

모순을 찾아라

귀류법을 쓸 때 — ‘~가 아니다’, ‘무한히 많다’ 처럼 직접 보이기 어려운 것을 증명할 때 특히 강력합니다.

생각 열기 · 절대부등식

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 5 · 2-03 [생각 열기] 항상 성립하는 부등식 · 교과서 94쪽

항상 성립하는 부등식은?

다음 부등식 중 어떤 실수를 넣어도 항상 성립하는 것을 찾아보세요.

부등식	판단

문자를 포함한 부등식에서 그 문자가 가질 수 있는 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 부등식 → 절대부등식

실수의 성질 (교과서 94쪽 — 절대부등식 증명에 자주 쓰입니다)

① a > b ⟺ a − b > 0	④ \| a \| ≥ a
② a² ≥ 0	⑤ a² + b² = 0 ⟺ a = 0, b = 0
③ a ≥ 0, b ≥ 0 일 때 a ≥ b ⟺ a² ≥ b²	⑥ \| a \|² = a², \| ab \| = \| a \|\| b \|

증명할 때 어느 성질을 썼는지 번호로 적어 두는 습관을 들이면 좋습니다.

절대부등식 증명

🖥 보여주며 조작📄 학습지 5 · 2-03 [절대부등식 증명] · 교과서 94쪽

빼서 0 이상임을 보인다

중요 — 성립함을 증명할 때 결과에서 출발하면 틀린 진술이 됩니다. 좌변과 우변을 따로 보거나 빼거나 더한 값에서 시작하세요. 그리고 등호가 포함된 부등식은 등호가 성립하는 조건을 따로 적는 습관을 들입시다.

그림으로 보기

🖥 보여주며 조작📄 교과서 96쪽 — 산술평균과 기하평균의 기하적 의미

📐 눈으로 보는 (a+b)/2 ≥ √(ab)

선분 AB 위의 점 D 에 대하여 AD = a, DB = b 라 하고, AB 를 지름으로 하는 반원을 그립니다. 중심을 O, D 에서 세운 수선이 반원과 만나는 점을 E 라 하겠습니다.

a 6

반지름 OC = (a + b) / 2 · 수선 DE = √(ab)

왜 DE = √(ab) 일까?

반원에서 지름에 대한 원주각은 직각이므로 삼각형 AEB 는 직각삼각형입니다. 직각삼각형에서 빗변에 내린 수선에 대하여 DE² = AD × DB = ab 이므로 DE = √(ab) 입니다.

그런데 DE 는 반지름보다 길 수 없습니다. 그래서 언제나 OC ≥ DE, 즉 (a+b)/2 ≥ √(ab) 입니다.

등호는 D 가 O 와 겹칠 때, 즉 a = b 일 때만 성립합니다.

역량 키우기 · 등호 조건

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 교과서 95쪽 [역량 키우기] 최솟값을 구할 때 빠지는 함정

⚠️ 등호는 언제 성립하는가

a > 0, b > 0 일 때 (a + b)(1/a + 9/b) 의 최솟값을 구하려고 합니다.

어떤 학생의 풀이

a + b ≥ 2√(ab) 이고 1/a + 9/b ≥ 2√(9/ab) 이므로
(a + b)(1/a + 9/b) ≥ 2√(ab) × 2√(9/ab) = 12
“따라서 최솟값은 12 입니다.”

두 등호가 동시에 성립할 수 있는지 확인해 봅시다.

바르게 풀기

산술·기하평균을 두 번 쓰지 말고, 먼저 전개합니다.

(a + b)(1/a + 9/b) = 1 + 9a/b + b/a + 9 = 10 + (9a/b + b/a)

이제 괄호 안에만 산술·기하평균을 한 번 적용합니다.

9a/b + b/a ≥ 2√(9a/b · b/a) = 2√9 = 6
따라서 10 + 6 = 16

등호는 9a/b = b/a, 즉 b² = 9a², b = 3a 일 때 성립합니다. 이 값은 실제로 존재하므로 최솟값은 16 입니다.

교훈 — 산술·기하평균을 두 번 쓰면 등호 조건이 서로 어긋날 수 있습니다. 등호 조건을 확인하지 않은 최솟값은 최솟값이 아닙니다.

평균과 연습

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 5 · 2-03 [산술기하조화 평균]·연습 5문항

세 가지 평균

실수 a > 0, b > 0 에 대하여 다음 평균이 있습니다.

산술평균 (A.M.)	기하평균 (G.M.)	조화평균 (H.M.) ★심화
(a + b) / 2	√(ab)	2ab / (a + b)
두 수의 중앙값 역할을 하는 덧셈의 평균. 이상치에 민감함.	곱의 균형을 나타내는 평균. 비율·성장률 같은 곱셈적 관계에 쓰이고 이상치에 덜 민감함.	역수의 평균의 역수. 평균 속력, 머신러닝 F1-score 등에 쓰임.

A.M. ≥ G.M. ≥ H.M. (단, 등호는 a = b 일 때)

a 2

★ 조화평균과 A.M. ≥ G.M. ≥ H.M. 은 심화 · 시험 범위가 아닙니다.

연습하기

다음 부등식이 성립함을 증명하시오. 눌러서 길잡이를 확인하세요.

읽을거리 · 역설

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 5 · 2-03 역설(Paradox) 이야기

🪒 러셀의 이발사

자기 모순에 빠지는 경우를 역설이라고 부릅니다. 고대 그리스의 거짓말쟁이 역설이 대표적이죠 — 크레타 섬 사람이 “크레타인은 죄다 거짓말쟁이다” 라고 말했습니다.

영국의 수학자 러셀은 한 마을의 이발사를 떠올렸습니다.

이 이발사는 ‘자신의 수염을 스스로 깎지 않는 모든 마을 사람의 수염’ 만 깎아 준다고 선언했죠.

그렇다면 — 이 이발사 자신의 수염은 누가 깎아야 할까요?

이 이야기가 수학을 바꾸었습니다

19–20세기 수학자들은 집합을 ‘바구니’ 처럼 생각했습니다. 원소를 그냥 모아 놓기만 하면 무엇이든 집합이 된다고 믿었죠.

러셀은 ‘자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합’ 을 정의해 놓고 그 집합이 자기 자신을 포함하는지 물었습니다. 어느 쪽이든 모순이었어요.

이 충격 이후 수학자들은 집합을 더 엄격하게 정의하고, 아무 집합이나 자유롭게 만들지 못하도록 공리적 집합론이라는 새 규칙을 만들었습니다.

우리가 Ⅱ단원 첫머리에서 “분명하게 정해지는 모임” 이라고 까다롭게 말한 까닭이 여기에 있습니다.

개념 확장 탐구

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 교과서 93·95쪽 [스스로 익히기]

🔭 더 넓게, 더 깊게

어떤 증명법을 고를까?

방법	이럴 때 쓴다
직접증명	가정에서 식을 세울 수 있을 때 (n = 2k 처럼)
대우	가정이 다루기 어렵고 결론의 부정이 다루기 쉬울 때
귀류법	‘~가 아니다’, ‘무한히 많다’ 처럼 직접 보이기 어려울 때

더 생각해 볼 것

√4 가 유리수가 아님을 √2 와 같은 방법으로 증명하려 하면 어디에서 막힐까요? 왜 막힐까요?
대우를 이용한 증명과 귀류법은 무엇이 같고 무엇이 다른가요?
a + 1/a ≥ 2 는 a > 0 에서만 성립합니다. a < 0 이면 어떻게 될까요?
교과서 93쪽·95쪽 [스스로 익히기] 를 해결하고 막힌 곳을 아래에 적어 두세요.

마무리

✍️ 오늘 수업 자유 기록

오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.

글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다. 선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.