공통수학2 · 함수와 그래프
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 6 · 1-02 ① [생각열기] 이중 환전 계산하기
💱 두 번 환전하면?
각 나라의 화폐는 환율을 기준으로 환전됩니다.
원을 유로로 바꾼 뒤 다시 유로를 달러로 바꾸려고 합니다. (환전 수수료는 생각하지 않습니다.)
| 대한민국 KRW 1600원 | → | 유럽연합 EUR 1유로 |
| 유럽연합 EUR 1유로 | → | 미국 USD 1.16달러 |
원 → 달러 함수 h 를 만들 수 있을까?
f : 원 → 유로, f(x) = x / 1600
g : 유로 → 달러, g(x) = 1.16 x
3200원 → f(3200) = 2 유로 → g(2) = 2.32 달러
h(x) = g( f(x) ) = 1.16 × (x / 1600) = 0.000725 x
만들 수 있습니다. f 의 결과(유로)가 g 의 입력(유로)과
종류가 같기 때문이에요. 이렇게 두 함수를 이어 붙인 것을 합성함수 라고 합니다.
스스로 정리하기
📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 6 · 1-02 ① [스스로 정리하기] · 교과서 114~115쪽
📖교과서 114~115쪽 — 세 집합 X, Y, Z 로 합성함수를 정의합니다.
합성함수의 정의
두 함수 f : X → Y, g : Y → Z 의 합성함수는
g ∘ f : X → Z, (g ∘ f)(x) = g( f(x) )
합성할 수 있으려면
f 의 치역이 g 의 정의역의 부분집합이어야 합니다.
f 가 뱉은 값을 g 가 받을 수 있어야 하니까요.
환전으로 치면 — f 가 내놓는 것이 유로인데
g 가 엔화만 받는다면 이어 붙일 수 없겠죠.
읽는 순서에 주의! g ∘ f 는 f 를 먼저, 그 다음 g 입니다.
기호는 g 가 앞에 있는데 계산은 f 가 먼저예요. g(f(x)) 의 괄호 안쪽부터 푼다고 생각하세요.
함숫값 구하기
🖥 보여주며 조작📄 학습지 6 · 1-02 ① 함숫값 구하기 · ☞스스로 확인하기 · ◑ 추가 문제
안쪽부터 차례로
두 함수 f(x) = x − 1, g(x) = x² + 1 에 대하여 합성함숫값을 구해 봅시다.
| 구하는 것 | 과정 | 값 |
|---|
| (g∘f)(1) | g( f(1) ) = g(0) = 0² + 1 |
|
| (g∘f)(2) | g( f(2) ) = g(1) = 1² + 1 |
|
| (g∘f)(3) | g( f(3) ) = g(2) = 2² + 1 |
|
| (f∘g)(2) | f( g(2) ) = f(5) = 5 − 1 |
|
맨 아래 줄을 보세요. (g∘f)(2) = 2 인데 (f∘g)(2) = 4 — 다릅니다!
다음 화면에서 이 이야기를 이어갑니다.
◑ 추가 문제 — 두 함수
f(x) = 3x − 5,
g(x) = x² + 1 에 대하여 다음을 구하시오.
| 구하는 것 | 과정 | 값 |
|---|
| (1) (g∘f)(1) | g( f(1) ) = g(3·1 − 5) = g(−2) = (−2)² + 1 |
|
| (2) (f∘g)(−3) | f( g(−3) ) = f((−3)² + 1) = f(10) = 3·10 − 5 |
|
안쪽 괄호부터 풀면 실수할 일이 없습니다.
(2) 에서 f(−3) 을 먼저 구하지 않도록 조심하세요 — 바깥에 있는 f 는 나중입니다.
교환법칙
🖥 보여주며 조작📄 학습지 6 · 1-02 ① 교환법칙 · 교과서 예제 1
순서를 바꾸면 달라진다
두 함수 f(x) = x − 1, g(x) = x² + 1 로 식을 직접 구해 봅시다.
일반적으로 g ∘ f ≠ f ∘ g
함수의 합성에서는 교환법칙이 성립하지 않습니다.
교과서 예제 1 — 두 함수 f(x) = 2x² − 3, g(x) = x² + 5 에 대하여
| (1) (f ∘ g)(x) |
|
| (2) (g ∘ f)(x) |
|
안쪽 함수의 식을 통째로 바깥 함수의 x 자리에 넣습니다.
이번엔 둘 다 이차식이라 4차식이 나옵니다 — 전개하기 전에 괄호째로 넣는 것이 먼저예요.
두 답이 전혀 다르죠. 이것이 바로 g ∘ f ≠ f ∘ g 입니다.
역량 키우기
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 교과서 116쪽 [역량 키우기] 어느 할인을 먼저?
🥤 어느 할인을 먼저 받을까?
어느 카페에서 천 원 할인(음료 주문 시 1000원 할인)과
포장 할인(포장하면 반값)을 함께 운영합니다.
정가가 x 원인 음료를 주문하려고 합니다. (x > 2000)
f(x) = x − 1000 (천 원 할인) /
g(x) = ½ x (포장 할인)
정리해 봅시다
포장 먼저 → 천 원 할인
(f ∘ g)(x) = f( ½x ) = ½x − 1000
천 원 할인 먼저 → 포장
(g ∘ f)(x) = g( x − 1000 ) = ½x − 500
(g ∘ f)(x) − (f ∘ g)(x) = 500
포장 할인을 먼저 받는 것이 언제나 500원 더 쌉니다.
정가에 관계없이 차는 늘 500원이에요.
왜 그럴까? 천 원 할인을 먼저 받으면
그 1000원까지 반으로 깎여 500원의 효과밖에 못 냅니다.
앞의 이중 환전은 두 함수가 모두 곱셈이라 순서를 바꿔도 같았지만,
여기는 곱셈과 뺄셈이 섞여 순서가 중요해집니다.
결합법칙
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 교과서 115쪽 [함께 완성하기] · 학습지 6 · 1-02 ① ◑ 추가 문제
괄호를 옮겨도 될까?
세 함수에 대하여 f ∘ (g ∘ h) 와 (f ∘ g) ∘ h 가 같은지 확인해 봅시다.
아래에서 함수 묶음을 골라 보세요.
f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h
함수의 합성에서는 결합법칙이 성립합니다.
그래서 괄호 없이 f ∘ g ∘ h 라고 써도 됩니다.
어디에 괄호를 넣든 결과가 같기 때문이에요.
단, 순서를 바꾸는 것은 안 됩니다 — 교환법칙은 성립하지 않으니까요.
문제 풀어보기
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 교과서 116쪽 [스스로 익히기] 1·3·4번
문제 풀어보기
1. 두 함수
f(x) = | 2x − 5 |,
g(x) = x² − 3x 에 대하여
| (g∘f)(2) | |
(f∘g)(2) | |
| (f∘f)(3) | |
(g∘g)(3) | |
f(2) = |−1| = 1 → g(1) = 1 − 3 = −2 /
g(2) = 4 − 6 = −2 → f(−2) = |−9| = 9
f(3) = |1| = 1 → f(1) = |−3| = 3 / g(3) = 9 − 9 = 0 → g(0) = 0
3. 두 함수
f(x) = 3x + 1,
g(x) = x² − 2x 에 대하여
| (1) (g ∘ f)(x) |
|
| (2) (f ∘ g)(x) |
|
4. 세 함수 f, g, h 에 대하여
(g ∘ f)(x) = 4x − 3,
h(x) = x² + x 일 때
((h ∘ g) ∘ f)(x) 를 구하시오.
결합법칙에 의해 ((h∘g)∘f)(x) = (h∘(g∘f))(x) = h( (g∘f)(x) )
= h(4x − 3) = (4x−3)² + (4x−3)
= 16x² − 24x + 9 + 4x − 3 = 16x² − 20x + 6
g 와 f 를 따로 모르는데도 풀립니다.
결합법칙 덕분에 묶음을 통째로 쓸 수 있기 때문이에요.
거듭 합성
🖥 보여주며 조작📄 교과서 116쪽 2번 · 학습지 6 · 1-02 ① [되돌아보기]
🔁 같은 함수를 거듭 합성하면
함수 f : X → X 가 X = { 1, 2, 3, 4 } 에서 다음과 같이 주어져 있습니다.
f(2) + (f∘f)(2) + (f∘f∘f)(2) 의 값은?
f(2) = 3, (f∘f)(2) = f(3) = 4, (f∘f∘f)(2) = f(4) = 1 → 합 8
로봇 월드로 돌아가 봅시다.
turn_left() 를 4번 하면 제자리로 돌아왔죠.
여기서도 f 를 4번 합성하면 항등함수 가 됩니다.
그래서 5번은 1번과, 6번은 2번과 같아요 — 4로 나눈 나머지만 중요합니다.
조작 탐구
🖥 보여주며 조작💬 자취를 모으기 전에 예상시키기📄 데스모스 활동 [추가 탐구] 합성함수의 그래프 그리기
⚙️ 점의 여행 — 합성함수의 그래프
첫 출력이 다음 입력으로. 마지막 점의 가로좌표는 다시 처음의 x 입니다.
이 한 줄이 합성함수 그래프의 전부입니다.
그리는 요령 4단계
- ① 왼쪽 위에서 x 를 넣어 중간값을 얻는다
- ② 그 중간값을 오른쪽 위 그래프의 가로축에 넣는다
- ③ 나온 값이 최종값
- ④ 아래 좌표평면에 (처음 x, 최종값) 을 찍는다 — 중간값은 쓰지 않는다
④ 가 가장 많이 틀리는 곳입니다.
가로좌표에 중간값을 찍으면 안 됩니다. 반드시 처음 x 입니다.
순서를 뒤집어 보세요. 회색 빈 원으로 이전 순서의 자취가 남습니다.
입력이 똑같은데 자취가 달라진다면, 그것이 f∘g ≠ g∘f 의 그림 증거입니다.
그래프만 보고 합성하기
✍️ 학생이 직접 그리는 화면💬 개형을 먼저 예상시키기📄 마플 개념익힘 08 · 변형문제 0731
📐 꺾이는 곳에서 자른다 — n축 방식
식이 없고 그래프만 주어져도 합성함수를 그릴 수 있습니다. 비결은 한 가지입니다 —
바깥 함수가 꺾이는 높이를 안쪽 함수 위에 그어 보고, 그 높이에 닿는 x 를 경계로
정의역을 잘라 구간마다 따로 합성하는 것입니다.
n축 방식 네 단계
- ① 바깥 함수가 꺾이는 가로좌표 u = k 를 찾는다
- ② 안쪽 함수 그래프에 y = k 를 그어 만나는 x 를 모두 찾는다
- ③ 그 x 들과 안쪽이 꺾이는 x 로 정의역을 n 개 구간으로 자른다
- ④ 구간마다 안쪽 식을 바깥 식의 자리에 넣어 합성식을 쓰고, 양 끝점을 찍어 잇는다
왜 자르나요? 한 구간 안에서는 안쪽 값이
바깥 함수의 같은 조각 위에만 머무릅니다. 그래야 식 하나로 쓸 수 있어요.
구간이 바뀌는 순간 쓰는 식이 바뀌므로 그래프가 꺾입니다.
경계는 두 종류입니다. ⓐ 안쪽이 k 에 닿는 x (바깥의 조각이 바뀜)
ⓑ 안쪽이 스스로 꺾이는 x (안쪽의 조각이 바뀜). 둘을 모두 모아야 구간이 빠지지 않습니다.
직선 조각끼리 합성하면 결과도 직선 조각입니다. 그래서 양 끝점만 찍어 이으면 끝납니다.
실생활 속으로
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 교과서 121쪽 [실생활 속으로] 수학적 모델링
🚗 자동차 연비 — 합성함수로 잇기
주행 성능 검사 중인 어느 자동차의 검사 시작 t 시간 후의 속도 v km/h 가
v(t) = 400t + 60 (0 ≤ t ≤ 0.2)
이고, 이 자동차의 속도 x km/h 에서의 연비 r km/L 가
r(x) = −0.003x² + 0.48x + 2.3 (60 ≤ x ≤ 140)
이라고 한다.
풀이
(1) t 시간 후의 연비는 (r ∘ v)(t) = r( v(t) ) 입니다.
(r ∘ v)(t) = −0.003(400t + 60)² + 0.48(400t + 60) + 2.3
(2) 먼저 연비가 21.5 가 되는 속도를 구합니다.
−0.003x² + 0.48x + 2.3 = 21.5 → −0.003x² + 0.48x − 19.2 = 0
양변에 −1000/3 을 곱하면 x² − 160x + 6400 = 0 → (x − 80)² = 0 → x = 80
이제 v(t) = 80 을 풀면 400t + 60 = 80 → t = 0.05 시간
3분 후
완전제곱식이 되어 속도가 하나로 정해집니다.
연비가 가장 좋은 지점이 딱 그 속도였던 거예요.
개념 확장 탐구
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 6 · 1-02 ① [되돌아보기]·생각키우기
🔭 더 넓게, 더 깊게
로봇 월드로 되돌아보기
- turn_right() 를 turn_left() 의 합성으로 나타내 보세요.
- move() 다음 turn_left() 와,
turn_left() 다음 move() 는 결과가 같은가요?
이것이 g ∘ f ≠ f ∘ g 와 어떻게 이어지나요?
- turn_left() 를 4번 하면 아무 일도 일어나지 않습니다.
이런 함수를 무엇이라 부를까요?
더 생각해 볼 것
- 순서를 바꿔도 결과가 같은 두 함수는 어떤 경우일까요? (환전처럼 둘 다 곱셈이면?)
- f ∘ f 가 항등함수가 되는 함수 f 를 하나 찾아보세요. (힌트: f(x) = −x, f(x) = 1/x …)
- 교과서 116쪽 [스스로 익히기] 를 해결하고 막힌 곳을 아래에 적어 두세요.
마무리
✍️ 오늘 수업 자유 기록
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을
아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.
글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다.
선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.
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