공통수학2 · 함수와 그래프

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 6 · 1-02 ② [생각열기] 입출력값 뒤집기 Q1~Q4

🔄 입력과 출력을 뒤집어 보자

표를 보고 어떤 함수인지 유추해 보고, 뒤집기 버튼을 눌러 입력과 출력을 바꿔 보세요.

Q4. 입력과 출력을 바꾸어 함수를 만들려면?

뒤집었을 때 한 입력에 출력이 둘이 되면 함수가 아닙니다. y = x² 에서 −3 과 3 이 둘 다 9 로 갔기 때문에, 뒤집으면 9 가 −3 과 3 둘로 갈라졌죠.

원래 함수가 일대일대응이어야 뒤집어도 함수가 된다

겹치면 뒤집었을 때 갈라지고, 남으면 뒤집었을 때 짝이 없어집니다. 그래서 겹치지도 남지도 않아야 해요.

스스로 정리하기

📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 6 · 1-02 ② [스스로 정리하기] · 교과서 117쪽

📖교과서 117쪽 — 역함수의 정의를 함께 읽습니다.

역함수의 정의

함수 f : X → Y 가 일대일대응이면
Y 를 정의역, X 를 공역으로 하는 새 함수를 정의할 수 있다.
이것을 f 의 역함수 라 하고 f⁻¹ : Y → X 로 쓴다.

y = f(x) ⟺ x = f⁻¹(y)
같은 화살표를 어느 쪽에서 읽느냐의 차이일 뿐입니다.

역함수의 성질

📖 교과서를 펴는 화면📄 교과서 117쪽 역함수의 성질 ①~④

역함수의 성질 네 가지

함수 f : X → Y 가 일대일대응일 때

①	f 의 역함수 f⁻¹ : Y → X 가 존재한다
②	y = f(x) ⟺ x = f⁻¹(y)
③	(f⁻¹ ∘ f)(x) = x (x ∈ X), (f ∘ f⁻¹)(y) = y (y ∈ Y)
④	(f⁻¹)⁻¹(x) = f(x) (x ∈ X)

③ 을 말로 풀면 — f 로 보냈다가 f⁻¹ 로 되돌리면 제자리입니다. 즉 f⁻¹ ∘ f 는 X 에서의 항등함수, f ∘ f⁻¹ 는 Y 에서의 항등함수. 로봇이 turn_left 를 4번 해서 제자리로 온 것과 같은 이야기죠.

역함수 탐구하기

🖥 보여주며 조작📄 학습지 6 · 1-02 ② ☞스스로 확인하기 · Q1·Q2·Q3

화살표를 거꾸로 따라가 보자

함수 f : X → Y 는 일대일대응이므로 역함수 f⁻¹ 가 존재합니다. 원소를 눌러 화살표를 따라가 보세요.

구하는 것	값
(1) f(a) = 4 이므로 f⁻¹(4) =
(2) f(b) = 2 이므로 f⁻¹(2) =
(3) f(d) = 1 이므로 f⁻¹(1) =
(4) (f ∘ f⁻¹)(3) =
(5) (f⁻¹ ∘ f)(c) =

(4)(5) 를 보세요. 갔다가 되돌아오면 출발한 자리 그대로입니다. (f⁻¹)⁻¹ = f 도 같은 이야기 — 거꾸로를 또 거꾸로 하면 원래대로죠.

Q3 (교과서 따라잡기) — 함수 f(x) = 2x − 5 에 대하여 다음을 구하시오.

구하는 것	생각하는 길	값
(1) f⁻¹(1)	f(x) = 1 인 x 를 찾습니다. 2x − 5 = 1 → 2x = 6
(2) f⁻¹(2)	2x − 5 = 2 → 2x = 7
(3) (f⁻¹∘f)(3)	갔다가 되돌아옵니다. 계산할 것도 없습니다.
(4) (f∘f⁻¹)(4)	거꾸로 갔다가 되돌아옵니다.

(1)(2) 는 식을 구하지 않아도 됩니다. f⁻¹(1) 은 “f 가 1 을 내놓게 하는 입력”일 뿐이니까요. (3)(4) 는 아예 계산하지 않습니다 — 3 과 4 가 그대로 답입니다.

역함수 식 구하기

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 6 · 1-02 ② 역함수 구하기 도표 · 교과서 118쪽

세 단계로 구하기

1y = f(x) 에서 시작

2x 에 대하여 푼다 — x = (y 에 대한 식)

3x 와 y 를 서로 바꾼다 — y = f⁻¹(x)

3단계는 왜 필요할까? 함수를 쓸 때는 보통 입력을 x, 출력을 y 로 적기로 약속했기 때문입니다. 뜻이 바뀌는 것이 아니라 이름표만 바꿔 다는 것이에요.

합성함수의 역함수

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 6 · 1-02 ② 합성함수의 역함수 · 교과서 119쪽 [역량 키우기]

🧦 양말과 신발

아침에 양말을 신고 → 신발을 신었다.
저녁에 되돌리는 순서는? → 신발을 벗고 → 양말을 벗는다.

되돌릴 때는 나중에 한 것부터 풉니다. 순서가 뒤집히죠.

(g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹
순서가 뒤집힙니다

순서가 정말 중요할까?

f(x) = x + 1, g(x) = 3x 로 세 가지를 모두 구해 봅시다.

식	결과	맞나?
(g ∘ f)⁻¹(x)	(g∘f)(x) = 3(x+1) = 3x+3 → x/3 − 1	기준
f⁻¹ ∘ g⁻¹	f⁻¹(x/3) = x/3 − 1	○
g⁻¹ ∘ f⁻¹	g⁻¹(x−1) = x/3 − ⅓	×

순서를 지켜야 합니다. f⁻¹ ∘ g⁻¹ 만 맞고 g⁻¹ ∘ f⁻¹ 은 틀립니다.

[확장하기] 두 함수 f(x) = 3x + 4, g(x) = 5x − 2 에 대하여 ( g ∘ (f ∘ g)⁻¹ ∘ g )(3) 의 값을 구하시오. (교과서 119쪽)

안쪽부터 차례로 갑니다.

g(3) = 5·3 − 2 = 13

(f ∘ g)(x) = f(5x−2) = 3(5x−2) + 4 = 15x − 2
→ (f ∘ g)⁻¹(x) = (x + 2) / 15 → (f∘g)⁻¹(13) = 15/15 = 1

g(1) = 5 − 2 = 3

답 3

역함수의 그래프

🖥 보여주며 조작📄 학습지 6 · 1-02 ② ☞스스로 확인하기 · 교과서 118쪽

y = x 에 대하여 대칭

두 함수 y = 2x − 1 과 y = ½x + ½ 의 그래프를 그려 봅시다. 점을 끌어 보세요.

점 A 의 x 2

함수 y = f(x) 의 그래프와 역함수 y = f⁻¹(x) 의 그래프는
직선 y = x 에 대하여 대칭

왜 그럴까?

y = f(x) 의 그래프 위의 점을 (a, b) 라 하면

b = f(a) ⟺ a = f⁻¹(b)

이므로 점 (b, a) 는 y = f⁻¹(x) 의 그래프 위의 점입니다.

그런데 (a, b) 와 (b, a) 는 직선 y = x 에 대하여 대칭이죠. Ⅰ-3 도형의 이동에서 배웠습니다!

추가 탐구

🖥 보여주며 조작📄 데스모스 활동 [추가 탐구] 증가·감소함수의 역함수 교점

⚠️ 교점은 늘 y = x 위에 있을까?

앞 화면에서 두 그래프의 교점이 y = x 위에 있었습니다. 언제나 그럴까요?

정리

증가함수 — 교점은 모두 y = x 위에 있습니다. f(x) = x 를 풀면 끝이에요.
감소함수 — y = x 밖에서도 만날 수 있습니다.

“역함수와의 교점은 y = x 에서 구하면 된다” 고 외우면 감소함수에서 틀립니다.

왜 그럴까? 두 그래프는 y = x 에 대해 서로 대칭입니다. 점 P 가 교점이면 P 를 y = x 에 대칭시킨 점 P′ 도 교점이에요. 증가함수는 P 와 P′ 이 같을 수밖에 없지만(그래서 y = x 위), 감소함수는 P 와 P′ 이 서로 다른 두 교점이 될 수 있습니다.

생각 키우기

🖥 보여주며 조작📄 학습지 6 · 1-02 ② [생각 키우기] y = x² 은 정말 역함수가 없을까?

🔍 y = x² 은 정말 역함수가 없을까?

앞에서 y = x² 은 뒤집으면 함수가 되지 못했습니다. 그런데 입력을 받는 범위를 줄이면 어떻게 될까요?

정리

정의역	일대일대응?	역함수
실수 전체	아니다 — −1 과 1 이 모두 1 로	없음
x ≥ 0	맞다 (치역 y ≥ 0)	y = √x
x ≤ 0	맞다 (치역 y ≥ 0)	y = −√x

함수는 식만이 아니라 정의역까지 정해야 완성됩니다. 같은 식이라도 정의역이 다르면 다른 함수예요 — 1-01 에서 배운 그대로입니다.

다음 단원 예고 — 여기서 나온 y = √x 가 학습지 7 의 무리함수 입니다. y = x² 의 오른쪽 반을 눕힌 모양이죠.

실생활 속으로

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 교과서 121쪽 [실생활 속으로] 화씨와 섭씨

🌡 화씨와 섭씨 — 서로의 역함수

화씨온도 x °F 를 섭씨온도 y °C 로 바꾸는 식은 y = (5/9)(x − 32) 입니다.

온도 32 °F

물음	답
(1) 섭씨 x °C → 화씨 y °F 로 바꾸는 식은?
(2) 0 °C 는 몇 °F 인가?
(3) 100 °C 는 몇 °F 인가?
(4) 화씨와 섭씨의 눈금이 같아지는 온도는?

(4) 를 푸는 방법

눈금이 같아진다는 것은 y = x 인 점을 찾는 것입니다.

(5/9)(x − 32) = x → 5(x − 32) = 9x → 5x − 160 = 9x → −4x = 160

x = −40 → −40 °C = −40 °F

두 그래프가 y = x 위에서 만나는 점이죠. 이 식은 증가함수라 교점이 y = x 위에 있습니다 — 앞 화면에서 본 그대로입니다.

추가 문제

✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 6 · 1-02 ② [추가 문제] 조각함수와 역함수

🎚 k 를 움직여 보자

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x) = −2x (x ≥ 0), f(x) = kx (x < 0) 에 대하여 물음에 답하시오. (단, k 는 실수)

k = 1 y = x 그어 보기

물음	답
(1) f 가 일대일대응이 되도록 하는 k 의 값의 범위
(2) f(x) = f⁻¹(x) 일 때 k 의 값

왜 그런가

(1) 두 조각이 어디로 가는지를 봅니다.

x ≥ 0 조각은 −2x 이므로 0 이하의 값만 내놓습니다. 치역 (−∞, 0]
x < 0 조각이 0 보다 큰 값을 빠짐없이 내놓아야 남는 것이 없습니다. x 가 음수일 때 kx > 0 이려면 k < 0
k > 0 이면 두 조각이 모두 음수 쪽으로 몰려 겹치고, 양수는 통째로 남습니다. k = 0 이면 모두 0 으로 가서 더 나쁘죠.

(2) f = f⁻¹ 는 두 번 하면 제자리 라는 뜻입니다. 즉 f( f(x) ) = x

x > 0 을 넣으면 f(x) = −2x < 0 이므로, 다시 넣을 때는 아래 조각을 씁니다.
f( −2x ) = k·(−2x) = −2kx → 이것이 x 와 같아야 하므로 −2k = 1
따라서 k = −½ 입니다. −½ < 0 이니 (1) 의 조건도 만족하죠.

그래프로 보면 — k = −½ 일 때 두 조각이 y = x 에 대하여 서로의 거울상이 됩니다. 위 체크상자를 켜고 k 를 −0.5 에 맞춰 보세요.

1-01 에서 조각함수가 일대일함수인지 를 따져 봤었죠. 여기서는 그 조건을 k 로 조절해 보는 셈입니다. 겹치는가, 남는가 — 기준은 그때와 똑같습니다.

개념 확장 탐구

💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 교과서 119쪽 [스스로 익히기]·[역량 키우기]

🔭 더 넓게, 더 깊게

더 생각해 볼 것

f⁻¹ = f 인 함수를 찾아보세요. (힌트: y = x, y = −x, y = 1/x …) 그래프가 y = x 에 대해 자기 자신과 대칭이라는 뜻입니다.
일차함수 y = ax + b 가 역함수를 가지려면 a 에 어떤 조건이 필요할까요?
일상에서 ‘되돌리는’ 짝을 찾아보세요. (암호화 ↔ 복호화, 접기 ↔ 펴기, 원 ↔ 달러 …) 되돌릴 수 없는 것은 어떤 것이 있나요?
교과서 119쪽 [스스로 익히기] 를 해결하고 막힌 곳을 아래에 적어 두세요.

Ⅲ단원을 마치며 — 1-01 에서 함수가 무엇인지, 1-02 ① 에서 이어 붙이는 법(합성)을, 여기서 되돌리는 법(역)을 배웠습니다. 셋 다 로봇 월드의 명령 하나에서 시작했다는 점을 기억해 두세요.

마무리

✍️ 오늘 수업 자유 기록

오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.

글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다. 선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.