공통수학2 · 유리함수와 무리함수
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 2-01 ① [생각열기] 자연 현상을 표현하는 함수 · Q1
🪂 낙하하는 닐의 걱정
닐은 자유낙하하는 물체가 v = gt 라는 속도를 가진다는 걸 알고 있습니다.
그러면 오랫동안 떨어지면 속도가 무한히 올라가는 것 아닐까요? 인공지능에게 물어봤습니다.
🤖 “공기의 저항 때문에 속도는 어느 값에
가까워지다가 멈춥니다.
이것을
종단속도라고 합니다.”
※ 식이나 설명이 틀릴 수도 있습니다. 함수의 형태만 보세요.
파란 선이 v = 9.8t (공기저항 없음), 붉은 곡선이 인공지능이 알려준
v = 55t / (t + 5) 입니다.
Q1. 우리가 알던 y = ax² + bx + c, y = ax 등의 함수와 어떻게 다른가?
- 분모에 문자가 있다. 지금까지는 분모가 늘 숫자였습니다.
- 아무리 t 를 키워도 넘지 못하는 선이 있습니다. (뒤에서 점근선이라 부릅니다)
- 분모가 0 이 되는 값은 쓸 수 없습니다. 정의역에 구멍이 생깁니다.
분모에 문자가 있는 식 → 유리식 · 문자가 근호 안에 있는 식 → 무리식
🙋오늘은 이 두 가지 새로운 식을 정의하고 계산하는 법을 배웁니다.
그래프는 다음 시간에 그립니다.
개념 세우기
💬 발문 — 학생 의견 듣기✍️ 학습지 표 채우기📄 학습지 2-01 ① Q2 (유리수·유리식·무리수·무리식 표)
🔁 수에서 식으로 — 이름이 그대로 넘어온다
중학교에서 배운 유리수·무리수를 떠올려 보세요. 이름이 식으로 그대로 옮겨옵니다.
먼저 분류해 봅시다. 식을 누르고, 세 칸 중 어디에 들어가는지 고르세요.
식을 하나 고르세요.
🎉 여덟 개 모두 분류했습니다!
| 유리수 | 유리식 | 무리수 | 무리식 |
|---|
형태
또는 정의 |
(정수)/(정수)
분모 ≠ 0 |
(다항식)/(다항식)
분모 ≠ 0 |
유리수로 나타낼 수
없는 실수 |
유리식으로 나타낼 수
없는 식
(문자가 근호 안) |
|---|
| 성질 |
사칙연산이 닫혀 있다
(÷0 제외)
유한소수·순환소수 |
사칙연산이 닫혀 있다
(÷0 제외)
정수도 유리수인 것처럼
다항식도 유리식 |
순환하지 않는
무한소수 |
제곱하면 근호가 풀린다
분모를 유리화할 수 있다
근호 안 ≥ 0 이라는
조건이 붙는다 |
|---|
가장 중요한 한 줄 — 정수도 유리수인 것처럼,
다항식도 유리식입니다. (분모가 1 이라고 보면 되니까요)
⚠️ 두 주장을 반례로 무너뜨려 보세요
㉠ “근호가 보이면 모두 무리식이다.”
㉡ “무리식의 값은 항상 무리수다.”
식의 이름은 한 번 대입한 값이 아니라 식의 생김새로 정한다
㉡ 이 특히 중요합니다. √x 는 x 가 4, 9, 16 일 때 값이 유리수 지만
그래도 여전히 무리식 입니다.
정의 굳히기
👁️ 함께 읽기✍️ 학습지 빈칸 채우기📄 학습지 2-01 ① (스스로 정리하기) 단어 총정리📗 교과서 125쪽
📝 단어 총정리 — 유리식, 무리식
1. 유리식 — 분모와 분자가 모두
으로 이루어진 식.
특히, 다항식도 유리식이다.
2. 무리식 — 식의 변수가
에 포함되어 있는 식 중
유리식으로 나타낼 수 없는 식.
예: √x, √(x−1), 1/√x, 2x + √(3x−1) 등등
교과서 125쪽 — 유리식의 성질
① A/B = (A×C)/(B×C) (단, BC ≠ 0)
② A/B = (A÷C)/(B÷C) (단, C ≠ 0)
①은 통분의 근거, ②는 약분의 근거입니다. 분수를 다루던 방법이 그대로 옵니다.
⚠️ 오늘 가장 조심할 것 — 약분해도 정의역은 그대로
(x+1)/(x²−1) = (x+1)/((x+1)(x−1)) = 1/(x−1)
약분한 결과만 보면 x ≠ 1 만 빼면 될 것 같습니다. 하지만
성질 ②의 조건이 C ≠ 0, 즉 x + 1 ≠ 0 이었죠.
약분을 할 수 있으려면 애초에 x ≠ −1 이어야 했습니다.
정의역은 약분하기 전의 식으로 정한다 → x ≠ 1 이고 x ≠ −1
이 함정이 뒤쪽 Q2 (3) 번에 그대로 나옵니다.
❓ 이 두 함수는 같은 함수일까?
f(x) = (x² − 1)/(x − 1) 와 g(x) = x + 1
약분하면 f(x) = x + 1 이니 같아 보입니다. 그런데—
x 값을 눌러 두 함수에 넣어 보세요.
다른 함수입니다. 두 함수가 같으려면 정의역과 대응이 모두 같아야 합니다.
| f(x) = (x²−1)/(x−1) | g(x) = x + 1 |
|---|
| 정의역 | { x | x ≠ 1 } | 실수 전체 |
|---|
| f(1), g(1) | 정의되지 않음 | 2 |
|---|
| 그래프 | 직선 y=x+1 에서 (1, 2) 만 뚫린 모양 | 직선 y = x + 1 |
|---|
약분은 식을 간단히 할 뿐, 금지된 입력을 되살리지는 못합니다.
계산 연습 ①
✍️ 학습지에 풀고 화면으로 확인📄 학습지 2-01 ① Q1 (1)~(6) 유리식의 계산
➗ 유리식의 계산 (1)~(6)
순서는 늘 같습니다.
① 분모를
인수분해 → ② 곱셈·나눗셈은
약분, 덧셈·뺄셈은
통분 → ③ 마지막에 한 번 더
약분
나눗셈은 역수를 곱하기. 분수 계산과 똑같습니다.
(1) 번은 학습지에 풀이가 있습니다. 나머지를 먼저 풀고 눌러 확인하세요.
계산 연습 ②
✍️ 학습지에 풀고 화면으로 확인📄 학습지 2-01 ① Q1 (7)~(12) 무리식의 계산📗 교과서 130쪽 예제 1
√ 무리식의 계산 (7)~(12)
단 하나의 공식으로 거의 다 됩니다.
(√A + √B)(√A − √B) = A − B
근호가
통째로 사라집니다. 이것이
분모의 유리화의 원리이기도 합니다.
분모가 √A + √B 이면 √A − √B 를 분자·분모에 곱하세요.
➕ 교과서 130쪽 예제 1 — 분모의 유리화 한 문항 더
x / (√(x+4) + 2) 를 간단히 하시오.
분모의 짝 √(x+4) − 2 를 분자·분모에 곱합니다.
= x(√(x+4) − 2) / ((x+4) − 4) = x(√(x+4) − 2) / x = √(x+4) − 2
마지막에 x 로 약분했으므로 x ≠ 0 이 꼭 필요했습니다.
또 근호 안이 실수여야 하니 x ≥ −4 도 함께 붙습니다. 정리하면 −4 ≤ x, x ≠ 0.
함수로 올라가기
👁️ 함께 읽기✍️ 학습지 빈칸 채우기📄 학습지 2-01 ① 「유리함수, 무리함수」 정의 빈칸📗 교과서 126·130쪽
📐 유리함수 · 무리함수의 정의
두 다항식 p(x), q(x) (p(x) ≠ 0) 에 대하여
f(x) = q(x) / p(x) 인 함수를
라 한다.
특히, f(x) 가 x 에 대한 다항식일 때, 이 함수를
라고 한다.
다항식은 유리식이므로 다항함수는 유리함수이다.
정의역이 주어지지 않을 때 —
- 다항함수의 정의역은
- 다항함수가 아닌 유리함수의 정의역은
- 무리함수의 정의역은
예) y = (2x−1)/(x+1) 의 정의역은 { x | x ≠ −1 인 모든 실수 } ·
y = √(3x−2) 의 정의역은 { x | x ≥ 2/3 }
판정해 봅시다
함수를 누르고, 세 칸 중 어디에 들어가는지 고르세요.
함수를 하나 고르세요.
🎉 여섯 개 모두 맞혔습니다!
정의역 훈련
✍️ 학습지에 풀고 화면으로 확인💬 (3)·(6) 은 반드시 발문📄 학습지 2-01 ① Q2 (1)~(6) 정의역 구하기
🎯 Q2. 다음 함수의 정의역을 구하시오
규칙은 세 개뿐입니다.
- 분모에 있으면 → ≠ 0
- 근호 안에 있으면 → ≥ 0
- 근호가 분모에 있으면 → > 0 (등호가 사라집니다!)
개념 확장 탐구
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 교과서 125~126쪽 [스스로 익히기]📗 교과서 126쪽 읽을거리
🏺 이집트 사람들의 분수
고대 이집트 사람들은 분자가 1 인 분수(단위분수) 만 썼습니다.
그래서 2/3 같은 수도 단위분수의 합으로 바꿔 적어야 했습니다.
그들이 쓴 규칙
1/x = 1/(x+1) + 1/(x(x+1))
오른쪽을 통분하면 —
1/(x+1) + 1/(x(x+1)) = x/(x(x+1)) + 1/(x(x+1)) = (x+1)/(x(x+1)) = 1/x
오늘 배운 통분과 약분만으로 끝납니다. (단, x ≠ 0, x ≠ −1)
해 보기
- 이 규칙으로 1/2 를 쪼개면 1/3 + 1/6 이 됩니다. 직접 확인해 보세요.
- 2/3 = 1/2 + 1/6 임을 보이세요.
- ★ 도전 — 2/7 을 서로 다른 단위분수의 합으로 나타내 보세요.
(힌트: 2/7 = 1/7 + 1/7 에서 뒤쪽 1/7 에 규칙을 쓰면?)
- 교과서 125~126쪽 [스스로 익히기] 를 해결하고 막힌 곳을 아래에 적어 두세요.
다음 시간 — 오늘 정의한 유리함수의 그래프를 그립니다.
첫 화면에서 본 “넘지 못하는 선” 의 정확한 이름을 그때 배웁니다.
마무리
✍️ 오늘 수업 자유 기록
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을
아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.
글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다.
선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.
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