공통수학2 · 유리함수와 무리함수
💬 발문 — 학생 의견 듣기✍️ 학습지 표 채우기📄 학습지 2-02 (생각열기) Q1 (1)·(2)·(3)
√ y = √x 의 그래프를 그려 보자
(1) 근호(루트)가 실수가 되려면 근호 안에 어떤 수만 넣을 수 있을까?
아래 수를 눌러 넣을 수 있는지 판정해 보세요.
수를 하나 눌러 보세요.
근호 안의 값은 반드시 0 이상이어야 한다
제곱해서 음수가 되는 실수는 없기 때문입니다.
(−2)² = 4, 2² = 4 — 어느 쪽이든 결과는 0 이상이죠.
그래서 무리함수에는 늘 정의역이라는 조건이 따라붙습니다.
유리함수가 “분모 ≠ 0” 이었다면, 무리함수는 “근호 안 ≥ 0” 입니다.
⚠️ √4 = ±2 일까요?
아주 많이 헷갈리는 곳입니다. 두 가지를 따로 적어 봅시다.
방정식의 해는 둘, √ 라는 기호의 값은 하나
√ 는 음이 아닌 쪽만 골라 주는 약속입니다.
그래서 y = √x 의 치역이 y ≥ 0 이고, 그래프가 위쪽 반만 그려집니다.
이 약속을 잊으면 마지막 [생각키우기] 에서 가짜 해에 걸립니다.
네 방향
✍️ 학습지에 네 개 모두 그리기📄 학습지 2-02 (생각열기) Q1 (4)📗 교과서 130~131쪽
↗️↖️↘️ 네 가지를 한 화면에
버튼을 눌러 하나씩 켜 보세요. 기준이 되는 y = √x 는 항상 켜져 있습니다.
두 가지 스위치만 있습니다.
- 근호 안 x 의 부호 → 그래프가 오른쪽이냐 왼쪽이냐 (y축 대칭)
- 근호 앞 부호 → 그래프가 위냐 아래냐 (x축 대칭)
두 스위치의 조합으로 네 방향이 모두 나옵니다.
일반화
💬 발문 — 학생 의견 듣기✍️ 학습지 다섯 칸 채우기📄 학습지 2-02 (생각열기) Q1 (5) · 정리 ①~④📗 교과서 130~131쪽
🔍 y = √(ax) — a 를 움직여 보자
y = √(ax) 에 대하여
①
a > 0 이면 정의역 { x | x ≥ 0 }, 치역 { y | y ≥ 0 }
a < 0 이면 정의역 { x | x ≤ 0 }, 치역 { y | y ≥ 0 }
치역은 둘 다 y ≥ 0 입니다. 근호값은 음수가 될 수 없으니까요.
②
함수 y = x²/a (x ≥ 0) 의 그래프와 직선 y = x 에 대하여 대칭이다.
즉 서로 역함수 관계입니다. Ⅲ-1 에서 배운 그대로죠.
③
|a| 가 커질수록 x축에서 멀어진다.
같은 x 에서 y 값이 더 크게 나오니까요.
④
y = √(ax) 와 y = √(−ax) 는 y축 대칭,
y = √(ax) 와 y = −√(ax) 는 x축 대칭
평행이동
✍️ 학습지에 직접 그리기📄 학습지 2-02 「일반적인 무리함수」 Q1 · Q2📗 교과서 132쪽
↔️ y = √(2x) 를 옮겨 보자
유리함수 때와 완전히 같은 방법입니다. x 자리에 x−p, 오른쪽에 +q.
Q2. x축으로 2, y축으로 −1 만큼 평행이동한 식은?
y = √(2(x − 2)) − 1 = √(2x − 4) − 1
x 자리에 x − 2 를 넣고, 오른쪽에 −1 을 붙입니다.
문제에서 √(2x−4) 처럼 펼쳐진 꼴로 주어지면,
거꾸로 √(2(x−2)) 로 묶어서 시작점을 찾습니다. 이것이 다음 화면의 전략입니다.
정의역·치역의 이동
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 2-02 「일반적인 무리함수」 Q3
📍 Q3. 정의역과 치역은 어떻게 바뀌었나
| y = √(2x) | y = √(2x−4) − 1 |
|---|
| 시작점 | (0, 0) | (2, −1) |
|---|
| 정의역 | { x | x ≥ 0 } | { x | x ≥ 2 } |
|---|
| 치역 | { y | y ≥ 0 } | { y | y ≥ −1 } |
|---|
유리함수의 점근선과 똑같은 일이 일어납니다.
도형 전체를 (2, −1) 만큼 옮겼으니, 시작점도 그만큼 옮겨졌습니다.
그리고 정의역·치역은 그 시작점이 정합니다.
무리함수에서는 시작점 (p, q) 가 유리함수의 점근선 노릇을 한다
전략 세우기
👁️ 함께 읽기✍️ 학습지 전략 칸 채우기📄 학습지 2-02 「일반적인 무리함수」 Q4📗 교과서 132쪽
🧭 Q4. √(ax+b) + c 를 그리는 전략
유리함수에서 분자를 분모로 나눴듯이, 무리함수에서는 근호 안을 묶습니다.
1
근호 안에서 x 의 계수를 밖으로 묶는다 →
y = √(a(x − p)) + q 꼴.
ax + b = a(x + b/a) 이므로 p = −b/a 입니다.
2
시작점을 찍는다 → (p, q).
근호 안이 0 이 되는 곳이 바로 곡선이 시작하는 점입니다.
3
a 의 부호로 좌우를 정한다 → a > 0 이면 오른쪽, a < 0 이면 왼쪽.
4
근호 앞 부호로 위아래를 정한다 → + 이면 위, − 이면 아래.
그리고 지나는 점 하나를 더 찍어 확인합니다.
정의역·치역은 저절로 나옵니다.
시작점 (p, q) 에서 오른쪽이면 x ≥ p, 왼쪽이면 x ≤ p.
위로 뻗으면 y ≥ q, 아래로 뻗으면 y ≤ q.
💡 점을 쉽게 얻는 요령 — 근호 안을 0, 1, 4 로 두기
무리함수는 값이 대부분 무리수라 점 찍기가 번거롭습니다.
그런데 근호 안이 제곱수가 되게 x 를 고르면 계산이 없어집니다.
근호 안 = 0 → 시작점, = 1 → y 가 시작점보다 1 만큼,
= 4 → 2 만큼 떨어진 점. 세 점이면 모양이 잡힙니다.
연습
✍️ 학습지에 그리고 화면으로 확인📄 학습지 2-02 Q5 (1)~(6)
✏️ Q5. 그래프를 그리고 정의역과 치역을 구하시오
거꾸로 찾기
✍️ 학습지에 풀고 화면으로 확인📗 교과서 133쪽 5번 · [역량 키우기]📄 학습지 보완 제안 ⑦·⑧
🔄 조건을 보고 식을 찾아보자
Q5 는 전부 식 → 그래프 방향이었습니다.
시험에는 그래프(조건) → 식 방향도 꼭 나옵니다. 두 문제로 연습해 봅시다.
생각키우기 ① — 현장 검증
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 2-02 [생각키우기] · [생각 키우기 이어서] (1)
🕵️ 가짜 해를 찾아라
학습지에 실린 풀이입니다. 정말 맞을까요?
√(x−2) = 2x + t
x − 2 = (2x + t)²
x − 2 = 4x² + 4tx + t²
4x² + (4t − 1)x + t² + 2 = 0
서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 판별식 D > 0
(4t−1)² − 4·4(t²+2) > 0
16t² − 8t + 1 − 16t² − 32 > 0
−8t − 31 > 0
t < −31/8
🔎계산은 한 군데도 틀리지 않았습니다.
그런데도 답은 틀렸습니다. t = −5 로 확인해 봅시다. (−5 < −31/8 = −3.875 이므로 교점이 2개여야 합니다)
t = −5 를 넣으면 4x² − 21x + 27 = 0 →
x = 3 또는
x = 2.25
두 값을 원래 식 √(x−2) = 2x − 5 에 직접 넣어 보세요. 위 버튼을 누르면 검산해 줍니다.
생각키우기 ② — 범인의 정체
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 2-02 [생각 키우기 이어서] (2)📗 Ⅱ단원 명제 — 충분조건·필요조건
⚖️ 제곱은 부호를 지운다
A = B ⟹ A² = B² (참)
A² = B² ⟹ A = B (거짓)
0.5 ≠ −0.5 이지만 0.5² = (−0.5)² 입니다.
제곱하는 순간 부호가 지워집니다.
Ⅱ단원의 말로 하면
A = B 는 A² = B² 이기 위한
충분조건일 뿐, 필요충분조건이 아닙니다.
그래서 양변을 제곱해 얻은 방정식의 해는 “후보” 일 뿐입니다.
반드시 원래 식에 넣어 확인해야 하고, 통과하지 못한 것을 무연근(가짜 해) 이라 부릅니다.
제곱해서 푼 뒤에는 반드시 검산
연습 — 어느 것이 가짜 해일까?
생각키우기 ③ — 사건 해결
✍️ 학습지에 올바른 풀이 쓰기📄 학습지 2-02 [생각 키우기 이어서] (3)·(4)
✅ 올바른 답을 찾아라
빠뜨린 조건 두 가지
- x ≥ 2 — 근호 안이 0 이상이어야 합니다.
- 2x + t ≥ 0 — 왼쪽이 √(…) 이므로 0 이상입니다. 오른쪽도 0 이상이어야 하죠.
t = −5, x = 2.25 가 걸린 것은 두 번째 조건이었습니다.
2(2.25) − 5 = −0.5 < 0 이니까요.
1
직선이 시작점 (2, 0) 을 지날 때 —
0 = 2·2 + t → t = −4.
이때 교점은 (2, 0) 과 (2.25, 0.5) 로 2개. 포함됩니다.
2
직선이 곡선에 접할 때 — D = 0 →
−8t − 31 = 0 → t = −31/8.
이때는 한 점에서만 만나므로 제외합니다.
3
t 를 −4 에서 −31/8 로 키우는 동안 교점이 2개로 유지됩니다.
올바른 답 −4 ≤ t < −31/8
| t 의 범위 | 판별식이 말하는 개수 | 실제 교점 |
|---|
| t < −4 | 2 | 1 (하나는 가짜) |
| −4 ≤ t < −31/8 | 2 | 2 ✅ |
| t = −31/8 | 1 (접함) | 1 |
| t > −31/8 | 0 | 0 |
판별식은 제곱한 뒤의 세계를 셉니다. 우리가 원한 것은 제곱하기 전의 세계 였습니다.
🎯 다른 길 — 제곱근을 새 변수로 삼으면 판별식이 필요 없습니다
u = √(x − 2) 라 두면 u ≥ 0 이고
x = u² + 2 입니다. 원래 식에 넣으면—
u = 2(u² + 2) + t → t = −2u² + u − 4
완전제곱 : t = −2(u − 1/4)² − 31/8 (단, u ≥ 0)
이제 t 는 u 에 대한 포물선입니다.
수평선
t = 일정 과 만나는
u ≥ 0 인 점의 개수를 세면 끝입니다.
u 가 다르면 x = u² + 2 도 다르므로, u 의 개수 = 교점의 개수 입니다.
| t | u ≥ 0 인 해 | 교점 |
|---|
| t < −4 | 1 개 (다른 하나는 u < 0 이라 버림) | 1 |
| t = −4 | 2 개 (u = 0, 1/2) | 2 |
| −4 < t < −31/8 | 2 개 | 2 |
| t = −31/8 | 1 개 (꼭짓점 u = 1/4) | 1 |
| t > −31/8 | 0 개 | 0 |
−4 ≤ t < −31/8 — 앞의 방법과 같은 답
u ≥ 0 이라는 한 줄이 빠뜨렸던 조건을 통째로 대신합니다.
가짜 해가 아예 생기지 않으니 검산도 필요 없죠.
개념 확장 탐구
💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 교과서 130~133쪽 [스스로 익히기]
🔭 더 넓게, 더 깊게
더 생각해 볼 것
- ★ 직접 해 보기 — √(x + 3) = x − 3 을 제곱해서 풀면 해가 두 개 나옵니다.
어느 것이 가짜 해인가요?
- 무리방정식을 풀 때 검산이 필요 없으려면, 처음부터 어떤 조건을 함께 적어 두면 될까요?
- Ⅲ-1 에서 배운 역함수로 돌아가 봅시다.
y = √x 와 y = x² 은 서로 역함수일까요?
(힌트: y = x² 의 정의역을 x ≥ 0 으로 좁혀야 했죠)
- 유리함수는 점근선, 무리함수는 시작점이 그래프를 결정했습니다.
두 경우 모두 평행이동으로 설명된다는 점을 정리해 보세요.
- 교과서 130~133쪽 [스스로 익히기] 를 해결하고 막힌 곳을 아래에 적어 두세요.
Ⅲ단원을 마치며 — 1-01 함수 → 1-02 합성·역함수 →
2-01 유리함수 → 2-02 무리함수.
마지막에 배운 것은 계산이 아니라 “내 답을 의심하는 법” 이었습니다.
마무리
✍️ 오늘 수업 자유 기록
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을
아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.
글로 써도 되고, 공책에 쓴 것을 사진으로 찍어 올려도 됩니다.
선생님은 이 기록을 읽고 다음 수업을 준비합니다.
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