종이 위에 자를 대고 직선을 그으려면 최소한 무엇이 있어야 할까요? 수학에서는 다음 두 가지 중 하나면 직선이 딱 하나로 정해집니다.
기울기가 m 이고 점 (x₁, y₁) 을 지나는 직선 위의 임의의 점 (x, y) 를 생각해 봅시다. 두 점으로 기울기를 계산하면 항상 m 이어야 하죠.
두 점 A, B 를 드래그 해 보세요. 기울기를 먼저 구하고, 점-기울기형에 대입하면 끝입니다.
x = k| 직선 | 방정식 | 기울기 |
|---|---|---|
| x축에 평행(가로) | y = k | 0 |
| y축에 평행(세로) | x = k | 없음(정의 안 됨) |
b 를 0 으로 만들어 보세요 — 기울기가 사라지고 세로선이 됩니다!
| 주어진 것 | 직선의 방정식 |
|---|---|
| 기울기 m, 점 (x₁, y₁) | y − y₁ = m(x − x₁) |
| 기울기 m, y절편 n | y = mx + n |
| 두 점 (x₁,y₁),(x₂,y₂), x₁≠x₂ | y − y₁ = y₂−y₁x₂−x₁(x − x₁) |
| x축에 평행 (기울기 0) | y = k |
| y축에 평행 (기울기 없음) | x = k |
| 모든 직선 (일반형) | ax + by + c = 0 |
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에, 두 점 (1, 2), (3, 8) 을 지나는 직선의 방정식을 기울기부터 차례로 구해 보고, 왜 ‘한 점 + 기울기’ 만으로 직선이 하나로 정해지는지 설명해 보세요.
두 직선의 기울기 m₁, m₂ 와 y절편 n₁, n₂ 를 바꿔 보세요. 위치 관계가 실시간으로 판정됩니다.
두 직선이 평행 ⟺ 기울기가 같고(y절편은 다름): m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂. 기울기·절편 모두 같으면 일치.
아래에서 두 번째 직선을 기울여 보세요. 내각의 합 α + β 가 180° 에서 조금만 벗어나도 두 직선은 언젠가 만납니다. 정확히 180° 일 때만 영원히 만나지 않습니다.
이 약속은 2000년 동안 수학자들을 괴롭혔습니다. “너무 당연해 보이니 다른 공준으로 증명할 수 있지 않을까?” 하고 수없이 시도했지만 모두 실패했죠. 19세기에 이르러 이 공준을 버린 기하학(비유클리드 기하)도 모순 없이 성립한다는 것이 밝혀졌습니다. 지구 위처럼 휜 공간에서는 ‘평행선’이 아예 없기도 합니다.
그렇다면 평행이란 무엇일까요? 아래 기록칸에 자신의 말로 적어 보세요. ‘만나지 않는다’ 와 ‘기울기가 같다’ 는 어떤 관계인지도 함께 생각해 보세요.
두 직선 y = m₁x + n₁, y = m₂x + n₂ 의 위치 관계는 이렇게 갈립니다.
| 위치 관계 | 기울기 | y절편 | 공통점 개수 |
|---|---|---|---|
| 한 점에서 만남 | m₁ ≠ m₂ | 상관없음 | 1개 |
| 평행 | m₁ = m₂ | n₁ ≠ n₂ | 0개 |
| 일치 | m₁ = m₂ | n₁ = n₂ | 무수히 많음 |
일반형으로 보면 — 두 직선 a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 에 대해
일반형은 기울기가 없는 직선(x = k) 까지 함께 다룰 수 있어서 편합니다.
평행 조건과 일치 조건을 스스로 정리하고, 두 조건이 어디에서 갈라지는지 적어 보세요.
아래 식을 두 개 눌러 비교해 보세요. 두 직선이 평행인지 일치인지 한 점에서 만나는지 판정합니다.
생각해 볼 것
주어진 식들과 평행하려면 어떤 조건이 필요한지 적어 보세요. 식 하나를 골라 그 직선과 평행한 직선을 실제로 하나 쓰고, 왜 평행인지 설명해 보세요.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.
데이터 점들이 흩어져 있을 때 ‘가장 잘 맞는 직선’을 긋는 것이 회귀분석(추세선)입니다. 키와 몸무게, 공부 시간과 성적처럼 두 양의 관계를 직선으로 요약하죠. 엑셀의 추세선, AI의 선형회귀가 모두 이것입니다.
ax + by + c = 0 을 (a, b)·(x, y) = −c 로 보면, (a, b)는 그 직선에 수직인 벡터(법선벡터)입니다. 직선을 ‘기울기’가 아니라 ‘어느 방향에 수직인가’로 보는 관점이며, 3차원에서 평면 ax+by+cz+d=0 으로 그대로 이어집니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.