두 직선의 기울기를 이리저리 바꿔 보세요. 직각으로 만나는 순간 그림에 직각 표시가 뜹니다. 그때 기울기의 곱이 얼마인지 눈여겨보세요.
직선 x = 2 와 y = 3 은 누가 봐도 수직입니다. 그런데 위 슬라이더로는 이 두 직선을 만들 수 없습니다. 왜일까요?
x = 2 는 기울기가 없습니다(정의되지 않음). m₁ · m₂ = −1 은 두 직선 모두 기울기가 있을 때만 쓸 수 있는 조건이에요.
| 두 직선이 수직인 경우 | 예 | 판정 |
|---|---|---|
| 둘 다 기울기가 있다 | y = 2x, y = −½x + 1 | m₁ m₂ = −1 |
| 하나는 x축에, 하나는 y축에 평행 | x = 2, y = 3 | 공식 사용 불가 — 그림으로 판단 |
일반형 a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 으로 쓰면
수직 조건이 a₁a₂ + b₁b₂ = 0 이 되어 이런 예외가 사라집니다.
x = 2 → (a,b) = (1,0), y = 3 → (a,b) = (0,1) 이므로 1·0 + 0·1 = 0 ✓
두 직선이 수직이면 왜 기울기의 곱이 −1 일까요? 서로 다른 두 방법으로 확인해 봅시다. 버튼을 누르면 그림과 식이 함께 바뀝니다.
학습지 [수직의 조건] 의 대수적 방식이 ② 입니다. 수직은 “기울어진 정도의 차이가 90°” 라서 직선의 위치와 상관이 없고, 그래서 계산하기 편하도록 두 직선을 원점으로 옮겨 놓고 따집니다.
두 증명 중 더 잘 이해되는 쪽을 골라, 왜 m₁ · m₂ = −1 인지 자신의 말로 적어 보세요.
서로 다른 두 직선 y = m₁x + n₁, y = m₂x + n₂ 의 관계는 다음과 같이 판정합니다.
| 관계 | 조건 | 교점 |
|---|---|---|
| 한 점에서 만남 | m₁ ≠ m₂ | 1개 |
| 평행 | m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂ | 없음 |
| 일치 | m₁ = m₂, n₁ = n₂ | 무수히 많음 |
| 수직 | m₁ · m₂ = −1 | 1개(직각) |
이제 아래 ‘내 생각 적기’ 칸에, 평행 조건과 수직 조건을 스스로 정리해 보세요.
두 직선을 보고 평행 · 수직 · 일치 · 그 외 중 하나를 고르세요. 바로 채점됩니다.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.
도로·건물 설계, 컴퓨터 화면의 좌표계는 모두 수직인 두 축 위에 세워집니다. 게임에서 캐릭터를 90° 돌리는 것도 ‘수직 방향 찾기’이고, 로봇 팔의 자세 제어도 마찬가지예요.
기울기 곱이 −1 이라는 조건은, 방향벡터 (1, m₁)과 (1, m₂)의 내적이 0이라는 말과 같습니다: 1·1 + m₁m₂ = 0. ‘수직 = 내적 0’ 은 3차원·n차원에서도 그대로 성립하는 더 근본적인 정의입니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.
먼저 점과 점 사이 거리부터. 두 점 A, B 를 드래그 하면, 직각삼각형의 두 변으로부터 피타고라스 정리로 거리가 계산됩니다.
점 A 에서 직선 위의 여러 점까지 이어 보면, 수직으로 내린 선(수선)이 가장 짧습니다. 점 A 를 드래그 하며 파란 수선과 회색 선들을 비교해 보세요.
직선이 축에 평행하면 거리는 눈으로 바로 보입니다. 점 P 를 끌어 옮기고, 직선도 움직여 보세요.
직선의 기울기 m 과 y절편 k 를 바꾸고(직선 y = mx + k, 즉 mx − y + k = 0), 점 P 를 드래그해 보세요. 파란 수선과 거리 d 가 공식과 함께 실시간 계산됩니다.
증명 두 가지 — 버튼을 누르면 그림이 바뀌고, 아래에 증명 과정이 이어집니다.
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에서 점 (2, 3) 과 직선 3x − 4y + 1 = 0 사이 거리를 공식으로 구해보세요. (참고: d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9+16) = |−5|/5 = 1)
17세기 초 르네 데카르트는 “평면 위 한 점의 위치를 두 개의 수(좌표)로 나타내면, 기하학 문제를 대수 방정식으로 바꿀 수 있지 않을까?”라는 발상을 합니다. 이것이 바로 좌표평면(데카르트 평면)의 탄생입니다.
원·직선·포물선 같은 도형이 방정식이 되고, 방정식을 해석하면 도형의 성질이 드러납니다. “대수 ↔ 기하”가 서로 번역 가능한 언어로 연결된 것이죠. 이 전환이 뉴턴·라이프니츠의 미적분학과 현대 해석기하학을 낳았습니다.
20세기 이후 이 연결은 대수기하학으로 정교해졌고, 들린·미르자하니 같은 필즈 메달 수상자들이 “좌표를 통한 기하 연구”의 최전선에 섰습니다. 오늘 우리가 쓴 거리 공식도, 400년 전 “공간과 수를 같은 언어로 보는” 사고 전환의 후손입니다.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.
인공지능이 두 그룹을 가르는 경계선을 그을 때, 경계에서 가장 가까운 점까지의 거리(마진)를 최대로 만듭니다(서포트 벡터 머신). 공장의 불량품 검출, 스팸 분류도 ‘선에서 얼마나 떨어졌나’로 판단해요.
거리 공식은 사실 벡터의 사영입니다. 직선 위 한 점에서 목표점까지의 벡터를, 직선의 법선벡터 (a, b) 방향으로 사영한 길이가 곧 거리죠. 그래서 3차원에서 점과 평면 사이 거리는 |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²) 로 똑같은 꼴이 됩니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.