점 (x, y) 를 x축으로 a, y축으로 b 만큼 옮기면 좌표에 그대로 더합니다. 슬라이더를 움직여 파란 점이 어떻게 이동하는지 보세요.
포물선 y = x² 를 (a, b) 만큼 평행이동하면 y = (x − a)² + b 가 됩니다. 회색은 원래, 파랑은 옮긴 것. 부호에 주목하세요 — x 자리에 (x − a) 입니다!
원 x² + y² = 4 를 (a, b) 만큼 옮기면 (x − a)² + (y − b)² = 4. 모든 도형이 같은 규칙 — x → x−a, y → y−b 로 바꿉니다.
옮긴 도형 위의 새 점 (x, y) 를 생각해 봅시다. 이 점은 원래 도형 위의 어떤 점을 (a, b) 만큼 민 것입니다. 그렇다면 민 것을 되돌린 점 (x − a, y − b) 는 원래 도형 위에 있어야 합니다.
즉, 점은 좌표를 앞으로(+) 밀지만, 방정식에서는 되돌리는(−) 대입이 들어가므로 부호가 반대로 보입니다.
| 대상 | (a, b) 만큼 평행이동 |
|---|---|
| 점 (x, y) | (x + a, y + b) |
| 방정식 f(x, y) = 0 | f(x − a, y − b) = 0 |
| 직선 y = mx + n | y − b = m(x − a) + n |
| 포물선 y = x² | y = (x − a)² + b |
| 원 x² + y² = r² | (x − a)² + (y − b)² = r² |
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에, 점은 +a·+b, 도형은 −a·−b 로 부호가 반대인 이유를 자신의 말로 설명해 보세요.
다음 방정식이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 −2만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하시오. (그림으로도 표현해 보자.)
x 자리에 x − 1 을, y 자리에 y − (−2) = y + 2 를 넣습니다. 점이 (+1, −2) 만큼 움직이면, 식에는 부호가 반대로 들어갑니다.
(1) (x − 1) + 2(y + 2) + 1 = 0
→ x − 1 + 2y + 4 + 1 = 0 → x + 2y + 4 = 0
기울기는 그대로 −½, 직선이 통째로 밀렸을 뿐입니다.
(2) (x − 1 − 1)² + (y + 2 + 2)² = 4
→ (x − 2)² + (y + 4)² = 4
중심 (1, −2) → (2, −4), 반지름은 2 그대로입니다.
슬라이더 a(가로), b(세로)를 움직여 회색 점을 별 자리로 옮기세요. 점은 좌표에 그대로 더해집니다: (x, y) → (x + a, y + b).
별에 정확히 닿으면 별이 노랗게 채워집니다.
회색 점선은 원래 직선 y = x 입니다. 이것을 평행이동해 별 4개를 모두 지나가게 하세요.
옮긴 직선의 식은 y = (x − a) + b 입니다. x 자리에 x − a 가 들어가는 것에 주목!
클리어했다면 a, b 를 다르게 해서도 클리어되는지 시험해 보세요. 직선에서는 답이 하나가 아닙니다 — 왜 그럴까요?
원래 포물선은 y = x². 옮기면 y = (x − a)² + b 가 됩니다. 꼭짓점이 어디로 가야 하는지 먼저 눈으로 찾아보세요.
포물선은 직선과 달리 클리어하는 (a, b) 가 딱 하나입니다. 꼭짓점의 위치가 곧 (a, b) 이기 때문이에요.
원래 원은 x² + y² = 9 (중심 원점, 반지름 3). 옮기면 (x − a)² + (y − b)² = 9. 중심만 옮기면 되니까, (a, b) = 새 중심 입니다.
반지름은 변하지 않습니다. 평행이동은 모양과 크기를 그대로 두고 위치만 바꾸는 이동이에요.
배운 것을 옆으로(다른 분야와 잇기) 그리고 아래로(더 근본적인 이유로) 넓혀 봅시다. 정답을 맞히는 시간이 아니라 생각을 키우는 시간이에요.
게임 캐릭터가 걷고, 지도가 스크롤되고, 슬라이드가 넘어가는 모든 움직임이 평행이동입니다. 이미지 편집의 ‘레이어 옮기기’, 프레젠테이션의 애니메이션도 좌표에 벡터를 더하는 일이에요.
평행이동은 벡터 덧셈입니다. (a₁,b₁)만큼 옮기고 다시 (a₂,b₂)만큼 옮기면 (a₁+a₂, b₁+b₂)만큼 옮긴 것과 같고, 반대로 옮기면 원래대로 돌아오죠. 이렇게 ‘합성이 되고, 항등원과 역원이 있는’ 구조를 수학에서는 군(group)이라 부릅니다.
막히면 ‘AI 질문’ 탭에서 힌트를 얻어도 좋아요. 생각한 내용은 아래 기록칸에 남겨 보세요. 공책에 쓴 것을 사진으로 올려도 됩니다.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.