💬 발문 — 학생 의견 듣기📄 학습지 3-02 [생각 틔우기] Q1·Q2 대칭 퀴즈와 데칼코마니
🎨 데칼코마니 — 접으면 겹칠까?
르네 마그리트의 데칼코마니는 종이에 물감을 묻혀 반으로 접었다 펴서 만든 무늬입니다.
아래 격자를 클릭해 물감을 찍어 보세요. 반대편에 거울상이 저절로 생깁니다.
보면서 이야기해 봅시다
내가 찍은 점과 저절로 생긴 점은 무엇이 같고 무엇이 반대인가요?
접는 선(대칭축) 위에 물감을 찍으면 어떻게 되나요? 왜 그럴까요?
‘원점으로 돌리기’는 접는 것이 아니라 반 바퀴 돌리는 것입니다. 무엇이 달라 보이나요?
대칭축은 몇 개일까?
도형
정삼각형
정사각형
평행사변형
원
대칭축
3개
4개
0개
무수히 많음
평행사변형은 점대칭(원점 대칭처럼 반 바퀴 돌리면 겹침)이지만
선대칭은 아닙니다. 접어서 겹치는 것과 돌려서 겹치는 것은 서로 다른 성질이에요.
공통수학2 · 도형의 이동
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 [생각 틔우기] Q3 점의 대칭이동 · ▶ 움직이지 않는 점
대칭이동 — 점
파란 점 P 를 드래그 하면 네 가지 대칭점이 동시에 나타납니다. 부호와 자리가
어떻게 바뀌는지 관찰하세요.
x축 대칭
y축 대칭
원점 대칭
y=x 대칭
정리 · 점
📖 교과서를 펴는 화면📄 학습지 3-02 Q4 y = x 에 대한 대칭이동
📖교과서 48쪽 — (x, y) 가 (y, x) 로 옮겨지는 이유를 함께 증명합니다.
점 (x, y) 의 대칭이동
기준
이동한 점
규칙
x축
(x, −y)
y좌표 부호 반대
y축
(−x, y)
x좌표 부호 반대
원점
(−x, −y)
둘 다 부호 반대
직선 y=x
(y, x)
x, y 자리 바꿈
헷갈릴 땐 앞 화면으로 돌아가 점을 (3, 1) 근처에 놓고 네 대칭점의 좌표를 직접 확인해 보세요.
왜 (a, b) 가 (b, a) 로 갈까?
x축·y축·원점 대칭은 부호만 바꾸면 되는데, y = x 대칭만 자리를 바꿉니다.
왜 그런지 증명해 봅시다. 점 A 를 움직여 보세요.
증명 — 점 A(a, b) 를 직선 y = x 에 대하여 대칭이동한 점을 A′(p, q) 라 하자.
대칭이동은 두 가지를 만족해야 한다.
① 선분 AA′ 의 중점이 직선 y = x 위에 있다
중점은 ( (a+p)/2 , (b+q)/2 ) 이고 이 점이 y = x 위에 있으므로
(a + p) / 2 = (b + q) / 2
→ q − p = a − b … ㉠
② 선분 AA′ 이 직선 y = x 와 수직이다
y = x 의 기울기가 1 이므로 AA′ 의 기울기는 −1 이어야 한다.
(q − b) / (p − a) = −1
→ q − b = −(p − a) → p + q = a + b … ㉡
㉠ 과 ㉡ 을 더하면 2q = 2a → q = a
㉡ 에 넣으면 p = (a + b) − a = b
따라서 A′(b, a) — 두 좌표의 자리가 바뀐다. ∎
더 쉽게 보는 방법 — 직선 y = x 는 x축과 y축을 서로 바꾸는 거울입니다.
거울에 비추면 “가로로 얼마”와 “세로로 얼마”가 맞바뀌므로, 좌표도 그대로 자리를 바꿉니다.
도형의 대칭이동
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 Q5 도형의 대칭이동
도형을 대칭시키기
비대칭인 ‘ㄱ’ 모양 깃발(회색)을 기준별로 대칭시켜 봅니다(파랑). 버튼을 눌러 기준을 바꿔 보세요.
회색이 원래 도형, 파랑이 대칭이동한 도형입니다. 점선은 대칭축(또는 중심).
정리 · 도형
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 Q5 도형의 대칭이동 규칙
도형 f(x, y) = 0 의 대칭이동
기준
이동한 도형
x축
f(x, −y) = 0
y축
f(−x, y) = 0
원점
f(−x, −y) = 0
직선 y=x
f(y, x) = 0
점의 이동과 완전히 같습니다! 도형은 “그 도형 위의 모든 점”을 옮긴 것이므로,
점에 적용한 규칙(부호 반대 / 자리 바꿈)을 방정식의 x, y 자리에 그대로 넣으면 됩니다.
(평행이동과 달리 부호를 되돌리는 −a 가 아니라, x→−x 처럼 변수 자체를 바꿔치기합니다.)
정리
✍️ 학습지에 적기📄 학습지 3-02 Q8 [도형의 대칭이동 정리]
한눈에 정리
기준
점 (x,y)
도형 f(x,y)=0
x축
(x, −y)
f(x, −y)=0
y축
(−x, y)
f(−x, y)=0
원점
(−x, −y)
f(−x, −y)=0
y=x
(y, x)
f(y, x)=0
아래 ‘내 생각 적기’ 칸에, 네 가지 대칭이동 규칙을 정리하고, 도형의 대칭이동이 점의 대칭이동과
같은 규칙을 따르는 이유를 설명해 보세요.
공통수학2 · 도형의 이동
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 [생각 틔우기] Q3
⭐ 별 먹기 — 점의 네 가지 대칭
점 P(3, 2) 를 네 가지 기준으로 대칭이동하면 별 자리에 도착합니다.
버튼을 눌러 별 4개를 모두 찾아내세요. (매번 원래 점 P 에서 출발합니다)
버튼을 눌러 보세요.
⭐ 0 / 4
규칙이 보이나요? x축은 y 부호만, y축은 x 부호만, 원점은 둘 다,
y = x 는 두 좌표의 자리를 바꿉니다.
스테이지
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 Q5 도형의 대칭이동
삼각형을 별 위로 — 최소 몇 번?
이번에는 누른 결과에서 이어서 대칭합니다. 파란 삼각형의 세 꼭짓점을
별 3개에 정확히 올려놓으세요. 최소 2번이면 됩니다!
⭐ 0 / 3
성공했다면 다른 순서로도 되는지 해 보세요. 순서를 바꿔도 결과가 같은 조합이 있습니다.
합성 실험실
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 핵심질문 · 여러 번 겹치면?
두 대칭을 이으면 무엇이 될까?
대칭을 두 번 연달아 하면 전혀 다른 이동이 됩니다. 두 개를 골라 결과를 확인해 보세요.
회색 F → 연한 파랑(1차) → 진한 파랑(2차) 순서로 움직입니다.
꼭 확인해 볼 조합
① x축 → y축 (순서를 바꿔도 같은가?)
② x축 → y = x / y = x → x축 (이 둘은 다를까?)
③ 원점 → y = x (생각지 못한 대칭축이 나옵니다)
④ 같은 대칭을 두 번 (예: x축 → x축)
방정식의 대칭
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 [예제1] 원의 네 가지 대칭이동
원 (x−1)² + (y−2)² = 4 를 대칭시키기
네 가지 대칭을 모두 눌러, 각각의 자리에 놓인 별 4개를 모으세요.
버튼을 누를 때마다 식이 어떻게 변하는지 꼭 읽어 보세요.
⭐ 0 / 4
규칙은 점과 똑같습니다. x축 대칭이면 식의 y 자리에 −y 를, y = x 대칭이면 x 와 y 를 맞바꿔 넣습니다.
방정식의 대칭
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 Q7 포물선의 대칭이동
포물선 y = x² + 1 은 어떻게 될까?
버튼을 눌러 네 가지 대칭의 식을 확인하세요. 하나는 아무 일도 일어나지 않습니다.
어느 것인지, 그리고 왜 그런지 찾아보세요.
y = x 대칭의 결과 x = y² + 1 은 y 에 대한 이차식이라 옆으로 누운 포물선이 됩니다.
이것은 함수가 아닙니다(x 하나에 y 가 둘). 도형의 방정식 f(x, y) = 0 으로 다루는 이유예요.
생각 키우기 · 이동의 순서
🖥 보여주며 조작📄 학습지 3-02 [생각 키우기] 순서를 바꾸면?
🔁 순서를 바꾸면 결과도 바뀔까?
포물선 y = x² 에 평행이동과 x축 대칭이동을 차례로 적용합니다.
순서만 바꿔 보면 어떻게 될까요?
두 결과는 왜 다를까?
x축 대칭은 y 의 부호를 뒤집는 조작입니다.
먼저 위로 b 만큼 올려 두고 뒤집으면 그 b 까지 함께 뒤집혀 −b 가 되지만,
먼저 뒤집고 나서 올리면 b 는 그대로 남습니다. 경로① 꼭짓점 (a, −b) / 경로② 꼭짓점 (a, +b)
그래서 y 축 방향 이동이 0 일 때(= x축 방향으로만 옮길 때) 순서를 바꿔도 결과가 같습니다.
b ≠ 0 이라면, 대칭을 먼저 한 쪽의 y 이동량을 −b 로 바꾸면 두 결과가 같아집니다.
도형의 이동은 순서를 마음대로 바꿀 수 없다 — 이것이 이 활동의 결론입니다.
예제 2
✍️ 학생이 직접 푸는 화면📄 학습지 3-02 [예제2] 그림으로 힌트 찾기
🏕 [예제 2] 반려견의 최소 이동 거리
캠핑장에 수연이가 반려견과 함께 있습니다. A 지점에 있는 반려견을
개울가(x축)로 데리고 가서 물을 먹인 후, 텐트가 있는 B 지점으로 가려고 합니다.
반려견의 최소 이동 거리를 구하시오.
개울 위의 점 P 를 좌우로 끌어 보세요.
왜 대칭이동을 쓸까?
B(3, 2) 를 개울(x축)에 대하여 대칭이동한 점을 B′(3, −2) 라 하면,
P 가 개울 위 어디에 있든 PB = PB′ 입니다.
P 에서 B 까지와 B′ 까지가 개울을 사이에 두고 거울처럼 같은 길이이기 때문입니다.
따라서 AP + PB = AP + PB′ 이고, 이 값은
A 에서 B′ 까지 곧게 갈 때 가장 짧습니다. 즉 최솟값은 선분 AB′ 의 길이입니다.