아래 기준으로 우리 반 학생을 나누려고 합니다. 모임이 분명하게 정해지는 것과 사람마다 답이 갈리는 것을 구분해 보세요. 기준마다 버튼을 눌러 판단합니다.
| 기준 | 분명 / 애매 |
|---|
‘애매하다’고 답한 기준은 말을 바꾸면 분명해집니다. 어떻게 고칠 수 있을까요?
공통점은 “누가 판단해도 답이 같아지도록” 만들었다는 것입니다.
‘분명하게’ 가 핵심입니다. 누가 판단해도 답이 같아야 집합입니다.
| 용어 | 뜻 |
|---|---|
| 집합 | 대상을 분명하게 정할 수 있는 모임 |
| 원소 | 집합을 이루는 하나하나의 대상 |
| a ∈ A | a 는 집합 A 의 원소이다 a 는 A 에 속한다 |
| b ∉ B | b 는 집합 B 의 원소가 아니다 |
| 유한집합 | 원소가 유한개인 집합 예) {1, 2, 5, 10} |
| 무한집합 | 원소가 무수히 많은 집합 예) 자연수 전체의 집합 |
| 공집합 ∅ | 원소가 하나도 없는 집합. n(∅) = 0 |
| n(A) | 유한집합 A 의 원소의 개수 |
‘10의 약수의 집합 A’ 를 세 가지 방법으로 나타내 봅시다. 아래에서 집합을 바꿔 가며 어떤 방법이 편한지 비교해 보세요.
| 방법 | 언제 편리한가 |
|---|---|
| 원소나열법 | 원소가 적을 때. 무엇이 들어 있는지 한눈에 보인다. |
| 조건제시법 | 원소가 아주 많거나 규칙이 있을 때. 100 이하의 5의 배수를 다 쓰기는 힘들다. |
| 벤 다이어그램 | 집합 사이의 관계(포함·겹침)를 보고 싶을 때. |
다음 중 집합인 것을 모두 찾고, 집합인 것은 원소를 모두 써 봅시다. 각 줄에서 집합 / 집합 아님을 눌러 판단하세요.
| 모임 | 집합인가? |
|---|
| 모임 | 집합? | 원소 |
|---|---|---|
| (1) 20보다 작은 소수의 모임 | ○ | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 |
| (2) 우리나라의 큰 강의 모임 | × | ‘큰’ 의 기준이 없다 |
| (3) 12의 약수의 모임 | ○ | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| (4) √2 에 가까운 유리수의 모임 | × | ‘가깝다’ 의 기준이 없다 |
(2)·(4) 도 기준을 정해 주면 집합이 됩니다. 예) 길이가 400 km 이상인 강 / |x − √2| < 0.01 인 유리수 x.
다음 집합의 원소의 개수 n(A) 를 구하시오. 먼저 스스로 세어 본 뒤 열어 확인하세요.
| 집합 | n(A) | 이유 |
|---|---|---|
| A = { x | x 는 24의 약수 } | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | |
| A = { x | x2 + 1 = 0 인 실수 } | 실수 범위에서 해가 없다 → A = ∅ | |
| A = { ∅ } | 원소가 ∅ 하나 들어 있다 | |
| A = { x | x 는 100 이하의 5의 배수 } | 5 × 1 부터 5 × 20 까지 |
오박사 센터 U(전체집합) = { 피카츄, 파이리, 꼬부기, 이상해씨 }. 기호로는 피카츄 = a, 파이리 = b, 꼬부기 = c, 이상해씨 = d 입니다.
넷을 모두 데려가는 조합만 빼면 됩니다. 그래서 16 − 1 = 15 가지. 이렇게 자기 자신을 뺀 부분집합을 진부분집합이라 합니다.
| 용어 | 뜻 |
|---|---|
| 부분집합 A ⊂ B |
A 의 모든 원소가 B 에 속한다. ∅ 과 자기 자신도 항상 부분집합이다. |
| 서로 같은 집합 A = B |
A ⊂ B 이고 B ⊂ A. 원소가 완전히 같다. |
| 진부분집합 | A ⊂ B 이면서 A ≠ B. 자기 자신은 뺀다. |
A = { 1, 2, 3 } 일 때
왼쪽이 낱개면 ∈, 왼쪽이 묶음이면 ⊂ 이라고 기억하세요.
원소마다 넣는다(○) / 안 넣는다(×) 두 갈래로 갈립니다. 표의 ○ × 를 눌러 바꿔 가며 8가지를 모두 만들어 보세요.
| 1 | 2 | 3 | 그때의 부분집합 |
|---|
부분집합 (8개) : ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}
진부분집합 (7개) : 위에서 {1,2,3} 을 뺀 나머지
원소가 3개 → 갈림길이 3번 → 2 × 2 × 2 = 23 = 8 가지.
다음을 구하고, 구한 방법을 함께 적어 봅시다. 스스로 세어 본 뒤 열어 확인하세요.
| 구하는 것 | 개수 | 생각하는 방법 |
|---|---|---|
| 부분집합의 개수 | 원소 5개가 각각 ○ × 두 갈래 → 25 | |
| 진부분집합의 개수 | 자기 자신 하나를 뺀다 → 25 − 1 | |
| 3 을 반드시 포함하는 부분집합 | 3 은 넣기로 고정. 나머지 4개만 갈린다 → 24 | |
| 1 을 포함하지 않는 부분집합 | 1 은 빼기로 고정. 나머지 4개만 갈린다 → 24 |
원소마다 넣는다 / 안 넣는다 두 갈래. 원소가 n 개면 갈림길이 n 번이므로 2 를 n 번 곱한 만큼입니다.
진부분집합은 자기 자신을 뺀 부분집합이므로, 모든 원소를 다 넣은 경우 딱 하나만 제외합니다. 그래서 −1 입니다. ∅ 은 진부분집합에 그대로 포함됩니다 (A 가 공집합이 아닐 때).
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 에 대하여 조건을 겹쳐 보세요. 조건 하나마다 원소 하나가 고정됩니다.
오늘 수업에서 새로 알게 된 것, 아직 헷갈리는 것, 더 알고 싶은 것을 아래 기록칸에 자유롭게 남겨 보세요. 짧아도 좋습니다.